Encontre (a) p r o j_{v} u. Use o produto interno euclidiano.
u=(1,2,-1), v=(-1,2,-1)

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre \operatorname{proj}_{v} u usando o produto interno euclidiano.
Dados fornecidos:
u=(1,2,-1),\qquad v=(-1,2,-1).
A pergunta é: qual é a projeção de u sobre v, isto é \operatorname{proj}_{v} u?

Passo 2

Primeiro lembro a definição que vamos usar. O produto interno euclidiano entre dois vetores x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3) é
\langle x,y\rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3.
A fórmula padrão da projeção de u sobre v é
\operatorname{proj}_{v} u = \frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\,v.
Aqui \langle u,v\rangle é o numerador (quanto u “alinha” com v) e \langle v,v\rangle é o denominador (o quadrado da norma de v). Vou calcular esses dois termos.

Passo 3

Calculo do numerador \langle u,v\rangle. Aplicando a definição do produto interno com os componentes dados:
\langle u,v\rangle = 1\cdot(-1) + 2\cdot 2 + (-1)\cdot(-1).
Agora somando os termos:
\langle u,v\rangle = -1 + 4 + 1 = 4.

Passo 4

Calculo do denominador \langle v,v\rangle (que é \|v\|^2):
\langle v,v\rangle = (-1)^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6.

Passo 5

Determino o coeficiente escalar da projeção:
\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
Expliquei a simplificação: dividi numerador e denominador por 2.

Passo 6

Multiplico esse escalar pelo vetor v componente a componente:
\operatorname{proj}_{v} u = \frac{2}{3}\,v = \frac{2}{3}(-1,2,-1).
Fazendo a multiplicação:
\operatorname{proj}_{v} u = \left(-\frac{2}{3},\,\frac{4}{3},\,-\frac{2}{3}\right).

Passo 7

Cheque rápido (opcional, mas bom para confiança): a diferença u-\operatorname{proj}_{v} u deve ser ortogonal a v. Calculo
u-\operatorname{proj}_{v} u = \left(1+\tfrac{2}{3},\,2-\tfrac{4}{3},\,-1+\tfrac{2}{3}\right)=\left(\tfrac{5}{3},\,\tfrac{2}{3},\,-\tfrac{1}{3}\right).
Produto interno com v:
\left\langle u-\operatorname{proj}_{v} u,\;v\right\rangle = -1\cdot\tfrac{5}{3} + 2\cdot\tfrac{2}{3} + (-1)\cdot\big(-\tfrac{1}{3}\big) = -\tfrac{5}{3}+\tfrac{4}{3}+\tfrac{1}{3}=0,
confirmando que está correto.

Resposta

\operatorname{proj}_{v} u = \left(-\tfrac{2}{3},\;\tfrac{4}{3},\;-\tfrac{2}{3}\right)

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