Considere a matriz
M=[lll a & b & c d & e & f g & h & i ]
Cujo determinante é det(M)=-6. Calcule o determinante da matriz:
N=[ccc a+d & b+e & c+f 3 g & 3 h & 3 i d & e & f ]
Bons estudos!

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos uma matriz M 3x3 com entradas a, b, c; d, e, f; g, h, i e sabemos que o determinante de M é -6. Precisamos calcular o determinante de outra matriz N , que é construída a partir de M usando combinações das suas linhas.
Conteúdo da Matéria: Determinantes de matrizes 3x3 e propriedades de operações com linhas, como multiplicação por escalar e adição de linhas.
Vamos precisar aplicar as propriedades dos determinantes relacionadas a essas operações para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes M e N :
M = a & b & c d & e & f g & h & i
N = a + d & b + e & c + f 3g & 3h & 3i d & e & f

Passo 3

Vamos identificar como a matriz N é formada a partir de M :
  • A primeira linha de N é a soma da primeira e segunda linha de M : (a + d, b + e, c + f) .
  • A segunda linha de N é a terceira linha de M multiplicada por 3: (3g, 3h, 3i) .
  • A terceira linha de N é a segunda linha de M : (d, e, f) .

Passo 4

Uma propriedade importante dos determinantes é que, se multiplicarmos uma linha de uma matriz por um escalar, o determinante da matriz resultante será o determinante original multiplicado por esse escalar.
Aqui, na segunda linha de N , temos 3 times a terceira linha de M . Isso significa que o determinante de N será 3 vezes o determinante da matriz resultante sem essa multiplicação.

Passo 5

Outra propriedade dos determinantes é que, se adicionarmos uma múltiplo de uma linha a outra linha, o determinante da matriz não muda.
Na primeira linha de N , temos a soma da primeira e segunda linha de M . Usando essa propriedade, podemos simplificar o cálculo do determinante.

Passo 6

Vamos aplicar essas propriedades passo a passo:
  1. Multiplicação da Segunda Linha por 3:
    Multiplicando a segunda linha de M por 3, obtemos uma nova matriz M' :
M' = a & b & c 3g & 3h & 3i d & e & f
O determinante de M' será 3 times det(M) = 3 times (-6) = -18 .
  1. Adição da Segunda Linha à Primeira Linha:
    Agora, adicionamos a terceira linha de M à primeira linha de M' , formando a matriz N :
N = (a + d) & (b + e) & (c + f) 3g & 3h & 3i d & e & f
Como a adição de linhas não altera o determinante, o determinante de N continua sendo -18.

Passo 7

No entanto, perceba que na matriz N a segunda e terceira linhas são múltiplos entre si (a segunda linha é 3 vezes a terceira linha). Quando uma matriz tem duas linhas proporcionais, o determinante dela é zero.
Então, o determinante que calculamos anteriormente está incorreto. Vamos refazer considerando essa propriedade.

Passo 8

Devido à linearidade das linhas, podemos reescrever o determinante de N assim:
det(N) = 3 times det( a + d & b + e & c + f g & h & i d & e & f )
Agora, observando que a primeira linha é a soma da primeira e segunda linhas de M , aplicamos a propriedade de linearidade:
det(N) = 3 times [ det(M) + det( d & e & f g & h & i d & e & f ) ]
A segunda matriz dentro do determinante tem duas linhas iguais, portanto seu determinante é zero.
Então:
det(N) = 3 times det(M) = 3 times (-6) = -18

Resposta

O determinante da matriz N é -18.

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