Sejam A e B duas matrizes n times n. Se e v in R^n é um autovetor de A e de B ao mesmo tempo, então encontre um autovetor para:
A B.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com matrizes quadradas A e B de ordem n times n . Temos um vetor v in R^n que é um autovetor de ambas as matrizes A e B . Nosso objetivo é encontrar um autovetor para o produto das matrizes A cdot B .
Matéria Necessária:
  • Conceito de autovetor e autovalor.
  • Propriedades de matrizes e operações com autovetores.
  • Multiplicação de matrizes.

Passo 2

Definindo Autovetores e Autovalores
Primeiro, vamos lembrar o que significa v ser um autovetor de A e B .
  • Se v é um autovetor de A , então existe um escalar lambda tal que:
A v = lambda v
  • Se v é um autovetor de B , então existe um escalar mu tal que:
B v = mu v
Aqui, lambda e mu são os autovalores correspondentes a v para as matrizes A e B , respectivamente.

Passo 3

Aplicando as Propriedades aos Produtos de Matrizes
Queremos encontrar um autovetor para A cdot B . Vamos aplicar A cdot B no vetor v :
A cdot B cdot v = A (B v)
Sabemos que B v = mu v , então substituímos:
A cdot B cdot v = A (mu v) = mu (A v)
Agora, A v = lambda v , então:
A cdot B cdot v = mu (lambda v) = lambda mu v

Passo 4

Conclusão sobre o Autovetor de A cdot B
Observamos que:
A cdot B cdot v = lambda mu v
Isso mostra que v é um autovetor de A cdot B com o autovalor lambda mu .

Resposta

Portanto, o vetor v é também um autovetor para o produto A cdot B , com o autovalor igual a lambda mu .

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