Sejam
e
duas matrizes
. Se e
é um autovetor de
e de
ao mesmo tempo, então encontre um autovetor para:
.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos lidando com matrizes quadradas
e
de ordem
. Temos um vetor
que é um autovetor de ambas as matrizes
e
. Nosso objetivo é encontrar um autovetor para o produto das matrizes
.
Matéria Necessária:
- Conceito de autovetor e autovalor.
- Propriedades de matrizes e operações com autovetores.
- Multiplicação de matrizes.
Passo 2
Definindo Autovetores e Autovalores
Primeiro, vamos lembrar o que significa
ser um autovetor de
e
.
- Se
é um autovetor de , então existe um escalar tal que:
- Se
é um autovetor de , então existe um escalar tal que:
Aqui,
e
são os autovalores correspondentes a
para as matrizes
e
, respectivamente.
Passo 3
Aplicando as Propriedades aos Produtos de Matrizes
Queremos encontrar um autovetor para
. Vamos aplicar
no vetor
:
Sabemos que
, então substituímos:
Agora,
, então:
Passo 4
Conclusão sobre o Autovetor de
Observamos que:
Isso mostra que
é um autovetor de
com o autovalor
.
Resposta
Portanto, o vetor
é também um autovetor para o produto
, com o autovalor igual a
.