Suponha que o polinômio característico de uma matriz
seja
.
Se
é diagonalizável, o que podemos afirmar sobre as dimensões dos autoespaços?
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma matriz
cujo polinômio característico é
. A questão quer saber o que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços de
sabendo que
é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de autovalores, autoespaços, multiplicidade algébrica e geométrica, além do que significa uma matriz ser diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os autovalores de
a partir do polinômio característico. Cada fator do polinômio
nos dá um autovalor e sua multiplicidade algébrica.
Passo 3
O polinômio característico dado é
, então os autovalores são:
-
com multiplicidade algébrica 2 -
com multiplicidade algébrica 3 -
com multiplicidade algébrica 5
Passo 4
Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor (que é a dimensão do autoespaço) deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. Ou seja, para cada
, temos:
Passo 5
Aplicando isso aos nossos autovalores:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As dimensões dos autoespaços são 2 para o autovalor 1, 3 para o autovalor -2 e 5 para o autovalor 5.