Suponha que o polinômio característico de uma matriz A seja p(lambda) = (lambda-1)^2(lambda+2)^3(lambda-5)^5.
Se A é diagonalizável, o que podemos afirmar sobre as dimensões dos autoespaços?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma matriz A cujo polinômio característico é p(lambda) = (lambda-1)^2(lambda+2)^3(lambda-5)^5 . A questão quer saber o que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços de A sabendo que A é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de autovalores, autoespaços, multiplicidade algébrica e geométrica, além do que significa uma matriz ser diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os autovalores de A a partir do polinômio característico. Cada fator do polinômio (lambda - valor)^mu<iplicidade nos dá um autovalor e sua multiplicidade algébrica.

Passo 3

O polinômio característico dado é p(lambda) = (lambda-1)^2(lambda+2)^3(lambda-5)^5 , então os autovalores são:
  • lambda1 = 1 com multiplicidade algébrica 2
  • lambda2 = -2 com multiplicidade algébrica 3
  • lambda3 = 5 com multiplicidade algébrica 5

Passo 4

Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor (que é a dimensão do autoespaço) deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. Ou seja, para cada lambdai , temos:
Dimensão do autoespaço de lambdai = Mu<iplicidade algébrica de lambdai ãçé

Passo 5

Aplicando isso aos nossos autovalores:
  • Para lambda1 = 1 :
Dimensão do autoespaço = 2 ãç
  • Para lambda2 = -2 :
Dimensão do autoespaço = 3 ãç
  • Para lambda3 = 5 :
Dimensão do autoespaço = 5 ãç

Resposta

As dimensões dos autoespaços são 2 para o autovalor 1, 3 para o autovalor -2 e 5 para o autovalor 5.

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