Considere a matriz A dada por
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 3 & m 1 & 1 & -1 )
(a) Determine a matriz inversa de A.
(b) Escreva A como produto de matrizes elementares;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a matriz
A= 1 & 0 & -1 1 & 3 & m 1 & 1 & -1
(a) Encontrar A^-1, o que exige usar eliminação de Gauss–Jordan em [Amid I] e verificar que det Aneq0.
(b) Escrever A como produto de matrizes elementares, ou seja, mostrar quais operações de linha levam I até A.
Para isso vamos precisar de noções de:
  • determinante para garantir inversibilidade,
  • operações elementares de linha e suas matrizes associadas,
  • procedimento de Gauss–Jordan para obter a inversa.

Passo 2

Calcular o determinante de A. Usando expansão pela primeira linha,
det A =1cdotdet3 & m1 & -1 -0cdotcdots +(-1)cdotdet1 & 31 & 1 =-3 - m ;-;(1-3) =-3-m+2 =-(m+1)
Logo, A é invertível se, e somente se, mneq -1.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada e iniciamos a eliminação:
l[Amid Ir] = 1 & 0 & -1 &mid& 1 & 0 & 0 1 & 3 & m &mid& 0 & 1 & 0 1 & 1 & -1 &mid& 0 & 0 & 1
Primeiro zeramos a coluna 1 em baixo de a11:
R 2\leftarrow R 2-R 1 e R 3\leftarrow R 3-R 1,
1 & 0 & -1 &mid& 1 & 0 & 0 0 & 3 & m+1&mid& -1& 1& 0 0 & 1 & 0 &mid& -1& 0& 1

Passo 4

Agora pivotamos em a22=3.
( 1) Dividimos R 2 por 3: R 2\leftarrow (\frac{1}{3}) R 2,
( 2) Eliminamos o 1 embaixo: R 3\leftarrow R 3-R 2.
1 & 0 & -1 &mid& 1 & 0 & 0 0 & 1 & tfracm+13 &mid& -tfrac13 & tfrac13 & 0 0 & 0 & -tfracm+13&mid& -tfrac23 & -tfrac13 & 1

Passo 5

Pivotamos em a33=-tfracm+13.
( 1) Escalamos R 3: R 3\leftarrow -\tfrac{3}{m+1} R 3,
( 2) Voltamos para cima:
\quad R 2\leftarrow R 2-\left(\tfrac{m+1}{3}\right) R 3,
\quad R 1\leftarrow R 1+R 3.
1 & 0 & 0 &mid& tfracm+3m+1& tfrac1m+1& -tfrac3m+1 0 & 1 & 0 &mid& -1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 &mid& tfrac2m+1& tfrac1m+1& -tfrac3m+1

Passo 6

Terminamos o Gauss– Jordan e, `a direita, est’a a inversa:
A^-1 = dfracm+3m+1 & dfrac1m+1 & -dfrac3m+1[6pt] -1 & 0 & 1[3pt] dfrac2m+1 & dfrac1m+1 & -dfrac3m+1 , mneq -1 ]

Passo 7

Cada operação de linha acima corresponde a uma matriz elementar Ei. Como aplicamos
E7,E6,E5,E4,E3,E2,E1;A =I,
temos
A =l(E7,E6,E5,E4,E3,E2,E1r)^-1 =E1^-1E2^-1E3^-1E4^-1E5^-1E6^-1E7^-1
As inversas destas matrizes elementares são:
E1^-1:;R2 R2+R1 Longrightarrow 1&0&0 1&1&0 0&0&1 , E2^-1:;R3 R3+R1 Longrightarrow 1&0&0 0&1&0 1&0&1 ,
E3^-1:;R2 3,R2 Longrightarrow 1&0&0 0&3&0 0&0&1 , E4^-1:;R3 R3+R2 Longrightarrow 1&0&0 0&1&0 0&1&1 ,
E5^-1:;R3 -tfracm+13,R3 Longrightarrow 1&0&0 0&1&0 0&0&-tfracm+13 , E6^-1:;R2 R2+tfracm+13,R3 Longrightarrow 1&0&0 0&1&tfracm+13 0&0&1 ,
E7^-1:;R1 R1-R3 Longrightarrow 1&0&-1 0&1&0 0&0&1

Resposta

(a)
A^-1 = dfracm+3m+1 & dfrac1m+1 & -dfrac3m+1 -1 & 0 & 1 dfrac2m+1 & dfrac1m+1 & -dfrac3m+1 , mneq -1
(b)
A =E1^-1,E2^-1,E3^-1,E4^-1,E5^-1,E6^-1,E7^-1,
onde as Ei^-1 são as matrizes elementares listadas acima.

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