Exercício 4: Calcule os limites no infinito das funções:
12. lim x infty x^6x^2+4^x compare lim x infty 6^x2^x+x^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois limites no infinito envolvendo polinômios e exponenciais:
  1. limxtoinftydfracx^6x^2+4^x
  2. limxtoinftydfrac6^x2^x+x^4
    O conteúdo é a comparação de crescimento entre polinômios (como x^6 ou x^4) e exponenciais (como 4^x, 2^x, 6^x).

Passo 2

Para
limxtoinftyx^6x^2+4^x,
note que 4^x cresce muito mais rápido que qualquer polinômio. Em particular
x^2+4^x>= 4^x Longrightarrow 0 ;<=;x^6x^2+4^x;<=;x^64^x
E é sabido que
limxtoinftyx^64^x=0
(pois a parte exponencial domina o polinômio). Pelo Teorema do Confronto, concluímos
limxtoinftyx^6x^2+4^x=0

Passo 3

Para
limxtoinfty6^x2^x+x^4,
fatoramos 2^x no numerador e denominador:
6^x2^x+x^4 =2^xcdot3^x2^xl(1 + x^4/2^xr) =3^x1 + x^4/2^x
Como limxtoinftyx^4/2^x=0, o denominador tende a 1 e sobra
limxtoinfty3^x=infty
Portanto
limxtoinfty6^x2^x+x^4=infty

Resposta

limxtoinftyx^6x^2+4^x=0
limxtoinfty6^x2^x+x^4=infty

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