Exercício 4: Calcule os limites no infinito das funções:
17. lim x infty(xx+2)^x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtoinftyl(xx+2r)^x
Este é um problema de limite no infinito onde a base tende a 1 e o expoente tende a infinito, então vamos usar a técnica de reescrever como exponencial e transformar em 1^infty via logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos a base de modo a evidenciar o termo que vai a 1:
xx+2 ;=;11+tfrac2x
Logo
l(xx+2r)^x =l(1+tfrac2xr)^-x

Passo 3

Para tratar o expoente, aplicamos logaritmo e depois voltamos pela exponencial:
L=limxtoinftyl(1+tfrac2xr)^-x =expl(limxtoinftyl[-,xln(1+tfrac2x)r]r)
Basta então calcular
limxtoinftyxlnl(1+tfrac2xr)

Passo 4

Note que lnl(1+tfrac2xr)to0 e xtoinfty, temos forma inftycdot0. Passamos para a forma tfrac00 definindo t=1/x, então tto0^+ e
xlnl(1+tfrac2xr) =ln(1+2t)t
Aplicando regra de L’H^opital:
limtto0^+ln(1+2t)t =limtto0^+tfrac21+2t1 =2
Portanto
limxtoinftyxlnl(1+tfrac2xr)=2 Longrightarrow limxtoinftyl[-,xln(1+tfrac2x)r]=-2

Resposta

limxtoinftyl(xx+2r)^x =e^-2

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