Exercício 4: Calcule os limites no infinito das funções:
15. lim x infty(1+12 x)^x

Passo 1

Resumindo: queremos avaliar
limxtoinftyl(1+12xr)^x
Esse tipo de limite envolve uma potência cujo expoente cresce sem parar, então é comum usar o logaritmo para transformar em produto e depois aplicar a aproximação
ln(1+u)approx u quando uto0.

Passo 2

Definindo
L = limxtoinftyl(1+12xr)^x,
tomamos logaritmo de ambos os lados:
ln L = limxtoinfty lnl(1+tfrac12xr)^x = limxtoinfty x,lnl(1+tfrac12xr)

Passo 3

Como tfrac12xto0 quando xtoinfty, usamos
ln(1+u)sim upara uto0,
aqui com u=tfrac12x. Logo
x,lnl(1+tfrac12xr)sim xcdottfrac12x = tfrac12
Portanto
ln L = tfrac12

Passo 4

Voltando da transformação logarítmica, obtemos
L = e^tfrac12 = raize

Resposta

raize

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