Considere a matriz A dada por
A=(ccccc 2 & -1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2 & -1 & 1 ) in M1 times 5(R)
(a) Determine explicitamente a matriz B=A^T A.
(b) Qual o determinante da matriz B?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
que é . Pede-se (a) a matriz e (b) . Para (a) vamos usar que cada entrada de é o produto interno das colunas de . Para (b) usaremos que , logo .

Passo 2

Identificamos as colunas de A como vetores em R^2:
c1=20, c2=-11, c3=02, c4=2-1, c5=11
Então
Bij = cicdot cj = ci1cj1 + ci2cj2

Passo 3

Calculamos os produtos internos necessários:
c1cdot c1&=2^2+0^2=4, & c1cdot c2&=2(-1)+0cdot1=-2, c1cdot c3&=2cdot0+0cdot2=0, & c1cdot c4&=2cdot2+0cdot(-1)=4, c1cdot c5&=2cdot1+0cdot1=2, & c2cdot c2&=(-1)^2+1^2=2, & c2cdot c3&=(-1)cdot0+1cdot2=2, c2cdot c4&=(-1)cdot2+1cdot(-1)=-3, & c2cdot c5&=(-1)cdot1+1cdot1=0, c3cdot c3&=0^2+2^2=4, & c3cdot c4&=0cdot2+2cdot(-1)=-2, c3cdot c5&=0cdot1+2cdot1=2, & c4cdot c4&=2^2+(-1)^2=5, & c4cdot c5&=2cdot1+(-1)cdot1=1, c5cdot c5&=1^2+1^2=2 &

Passo 4

Montamos B como a matriz 5times5 simétrica:
B = A^T A = 4 & -2 & 0 & 4 & 2 -2 & 2 & 2 & -3 & 0 0 & 2 & 4 & -2 & 2 4 & -3 & -2 & 5 & 1 2 & 0 & 2 & 1 & 2

Passo 5

Para (b), note que pois tem só 2 linhas. Então , o que implica que .

Resposta

(a)
B = 4 & -2 & 0 & 4 & 2 -2 & 2 & 2 & -3 & 0 0 & 2 & 4 & -2 & 2 4 & -3 & -2 & 5 & 1 2 & 0 & 2 & 1 & 2
(b) det B = 0.

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