Exercício 4: Calcule os limites no infinito das funções:
13. lim x infty(ln (x)-raizx)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=ln(x)-raizx e pede
limxtoinftyl(ln(x)-raizxr)
O conteúdo é limites no infinito e comparação de crescimento entre funções logarítmicas e funções do tipo potência (ou raiz).

Passo 2

Para comparar o crescimento de ln(x) e de raizx, estudamos o quociente
limxtoinftyln(x)raizx
Aplicamos a Regra de L’Hospital, pois numerador e denominador tendem a infinito:
ddxln(x)=1x, ddxraizx=12raizx
Logo,
limxtoinftyln(x)raizx =limxtoinfty1/x1/(2raizx) =limxtoinfty2raizxx =limxtoinfty2raizx =0

Passo 3

Reescrevemos
ln(x)-raizx =raizxl(ln(x)raizx-1r)
Sabemos que raizxtoinfty e que ln(x)raizxto0, portanto
ln(x)raizx-1;longrightarrow;-1,
e o produto
raizxtimesl(tfracln(x)raizx-1r) ;longrightarrow;inftytimes(-1) =-infty

Resposta

-infty

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