Questão 2 Considere as matrizes reais:
A=(ccc1 & 0 & -1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0), B=(ll0 & 0 0 & 1), C=0, D=I, E=(lll1 & -1 & 0) e F=I-A
(a) Quais matrizes estão na forma linha-reduzida?
(b) Quais matrizes estão na forma linha-reduzida de Echelon?

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A= 1 & 0 & -1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 , B= 0 & 0 0 & 1 , C=0, D=I, E=1 & -1 & 0, F=I-A
e pede, em (a), quais estão na forma reduzida por linhas (RREF) e, em (b), quais estão na forma de escada por linhas (REF). Vamos usar as definições de RREF e REF para cada matriz.

Passo 2

Definições:
– Uma matriz está em REF (forma de escada) se
1. Todas as linhas nulas estão abaixo das linhas não nulas.
2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivot) está à direita do pivot da linha anterior.
– Uma matriz está em RREF (forma reduzida) se, além de estar em REF, satisfaz
1. Cada pivot vale 1.
2. Em cada coluna de pivot, todos os outros elementos são zero.

Passo 3

Análise de A:
A= 1 & 0 & -1 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0
bul<=t As linhas não nulas estão acima da linha de zeros.
bul<=t O pivot de linha 1 está em coluna 1; o pivot de linha 2 está em coluna 2, à direita.
Logo A está em REF.
bul<=t Porém o pivot de linha 2 vale -1neq1, então não está em RREF.

Passo 4

Análise de B:
B= 0 & 0 0 & 1
Aqui a linha nula aparece acima da linha não nula, violando REF.
Portanto B não está nem em REF nem em RREF.

Passo 5

Análise de C=0:
Uma matriz zero (de qualquer tamanho) tem todas as linhas nulas e não possui pivots; satisfaz vacuamente as condições de REF e de RREF.
Logo C está em REF e em RREF.

Passo 6

Análise de D=I:
Para a identidade vale
bul<=t cada pivot é 1 e está à direita do anterior,
bul<=t em cada coluna de pivot os outros elementos são zero,
bul<=t não há linhas nulas.
Logo D está em REF e em RREF.

Passo 7

Análise de E=(,1;-!1;0,):
bul<=t É uma única linha não nula, sem linhas de zeros abaixo.
bul<=t O primeiro não nulo é 1 (pivot) e está normalizado.
bul<=t A coluna de pivot não tem outros elementos.
Logo E está em REF e em RREF.

Passo 8

Análise de F=I-A:
I-A = 1&0&0 0&1&0 0&0&1 - 1&0&-1 0&-1&0 0&0&0 = 0&0&1 0&2&0 0&0&1
bul<=t A linha 1 tem pivot em coluna 3; a linha 2 tem pivot em coluna 2, que fica à esquerda do pivot da linha 1, violando a ordem de pivots de REF.
Assim F não está nem em REF nem em RREF.

Resposta

(a) Estão em RREF: C,;D,;E.
(b) Estão em REF: A,;C,;D,;E.

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