A pergunta é: verificar se T_{A} é um automorfismo.
Informações relevantes que temos: a matriz A explícita em \mathbb{R}^{3\times3}. Não há outras informações ocultas.]
Passo 2
O que significa “verificar se T_{A} é um automorfismo”? Vou explicar devagar: um automorfismo linear é uma transformação linear que é bijetora (injetora e sobrejetora). No caso de transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita (aqui \mathbb{R}^3 para \mathbb{R}^3), isso é equivalente a a transformação ser invertível. Para matrizes, a condição prática testável é: a matriz A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0. Então a estratégia prática é calcular \det(A). Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e T_A é um automorfismo; se \det(A)=0 então não é automorfismo.
Vou agora ensinar rapidamente o que é determinante e como calculá-lo para 3\times3: para uma matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
onde cada cofator C_{1j}=(-1)^{1+j} vezes o determinante do menor 2\times2 que sobra ao eliminar linha 1 e coluna j. Vou aplicar isso à nossa matriz.]
Passo 3
Aplicando a expansão pela primeira linha em A. Os elementos da primeira linha são a_{11}=0, a_{12}=1, a_{13}=-1. Calculamos os cofatores correspondentes:
Menor para a posição (1,1) é a matriz \begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}. O cofator é
Como a_{13}=-1, a contribuição é a_{13}C_{13}=-1\cdot 1=-1.
Somando as contribuições:
\det(A)=0 + (-2) + (-1) = -3.]
Passo 4
Interpretando o resultado: obtivemos \det(A)=-3. Como -3\neq 0, a matriz A é invertível (ou seja, existe A^{-1}). Portanto a transformação linear T_{A} é bijetora e, consequentemente, é um automorfismo de \mathbb{R}^{3}.
Resposta
Sim. T_{A} é um automorfismo, pois \det(A)=-3\neq0.