Considere a transformação matricial T_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por T_{A}(x)=A \cdot x, onde a matriz A é dada por:
A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\\\ 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right)
Verifique se a transformação T_{A} é um automorfismo.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T_{A}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por T_{A}(x)=A\cdot x, com
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
A pergunta é: verificar se T_{A} é um automorfismo.
Informações relevantes que temos: a matriz A explícita em \mathbb{R}^{3\times3}. Não há outras informações ocultas.]

Passo 2

O que significa “verificar se T_{A} é um automorfismo”? Vou explicar devagar: um automorfismo linear é uma transformação linear que é bijetora (injetora e sobrejetora). No caso de transformações lineares entre espaços vetoriais de mesma dimensão finita (aqui \mathbb{R}^3 para \mathbb{R}^3), isso é equivalente a a transformação ser invertível. Para matrizes, a condição prática testável é: a matriz A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0. Então a estratégia prática é calcular \det(A). Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e T_A é um automorfismo; se \det(A)=0 então não é automorfismo.
Vou agora ensinar rapidamente o que é determinante e como calculá-lo para 3\times3: para uma matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
uma forma prática é expandir pela primeira linha:
\det = a\cdot C_{11} + b\cdot C_{12} + c\cdot C_{13},
onde cada cofator C_{1j}=(-1)^{1+j} vezes o determinante do menor 2\times2 que sobra ao eliminar linha 1 e coluna j. Vou aplicar isso à nossa matriz.]

Passo 3

Aplicando a expansão pela primeira linha em A. Os elementos da primeira linha são a_{11}=0, a_{12}=1, a_{13}=-1. Calculamos os cofatores correspondentes:
  • Menor para a posição (1,1) é a matriz \begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}. O cofator é
C_{11}=(-1)^{1+1}\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=+1\cdot(0\cdot0-2\cdot1)= -2.
Como a_{11}=0, a contribuição a_{11}C_{11}=0\cdot(-2)=0.
  • Menor para a posição (1,2) é a matriz \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}. O cofator é
C_{12}=(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}=-1\cdot(1\cdot0-2\cdot(-1))=-1\cdot(0+2)=-2.
Aqui a_{12}=1, então a contribuição é a_{12}C_{12}=1\cdot(-2)=-2.
  • Menor para a posição (1,3) é a matriz \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}. O cofator é
C_{13}=(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}=+1\cdot(1\cdot1-0\cdot(-1))=+1.
Como a_{13}=-1, a contribuição é a_{13}C_{13}=-1\cdot 1=-1.
Somando as contribuições:
\det(A)=0 + (-2) + (-1) = -3.]

Passo 4

Interpretando o resultado: obtivemos \det(A)=-3. Como -3\neq 0, a matriz A é invertível (ou seja, existe A^{-1}). Portanto a transformação linear T_{A} é bijetora e, consequentemente, é um automorfismo de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Sim. T_{A} é um automorfismo, pois \det(A)=-3\neq0.

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