Considere a transformação matricial T_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por T_{A}(x)=A \cdot x, onde a matriz A é dada por:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 \\\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right)
Verifique se a transformação T_{A} é um automorfismo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear T_{A}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, definida por T_A(x)=A\cdot x, é um automorfismo. \n
Dados fornecidos: a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
\n
Pergunta explícita: “Verifique se T_A é um automorfismo.” Ou seja, determine se T_A é bijetora (injetora e sobrejetora) — normalmente isso equivale a verificar se a matriz A é invertível.]

Passo 2

O que significa “automorfismo” neste contexto (explicação didática): \n
  • Uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n é um automorfismo se for bijetora. \n
  • Para transformações da forma T_A(x)=A x, isso é equivalente a a matriz A ser invertível. \n
  • Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. \n
    Portanto, para decidir se T_A é automorfismo basta verificar se \det(A)\neq 0. Vou calcular \det(A). (Se quiser, outra forma seria mostrar que o núcleo é só o vetor zero; vou também encontrar o núcleo para reforçar a intuição.)

Passo 3

Observação rápida que facilita o cálculo do determinante: a terceira linha da matriz é (-1,1,0), que é exatamente -1 vezes a primeira linha (1,-1,0). \n
Quando uma linha (ou coluna) de uma matriz é múltipla de outra, as linhas são linearmente dependentes, e isso implica que o determinante da matriz é zero. \n
Logo, por essa observação já temos a indicação de que \det(A)=0. Vou calcular explicitamente para ficar bem claro.

Passo 4

Cálculo explícito do determinante por desenvolvimento na primeira linha (a título de verificação): \n
Usando a fórmula do determinante de 3\times3,
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculemos os menores:
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-2\cdot1=-2,
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-2\cdot(-1)=2.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-2)-(-1)\cdot(2)+0 = -2 + 2 = 0.]

Passo 5

Conclusão parcial: \det(A)=0. Pelo critério do determinante, a matriz A não é invertível. Portanto T_A não é bijetora e, consequentemente, não é um automorfismo. \n
Mas vou seguir e mostrar explicitamente que o núcleo de T_A contém vetores não nulos (isso ajuda a entender o que acontece geometricamente).

Passo 6

Encontrando o núcleo resolvendo A x = 0\). Seja \(x=(x_1,x_2,x_3)^\top\). As equações do sistema são: \[\begin{cases} x_1 - x_2 + 0\cdot x_3 = 0,\\[4pt] 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 2 x_3 = 0,\\[4pt] - x_1 + x_2 + 0\cdot x_3 = 0. \end{cases}
Das equações obtemos:
x_1 - x_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = x_2,
2 x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 0.
A terceira equação é redundante (é a negativa da primeira), como já esperávamos pela dependência entre linhas. Portanto as soluções são
x = (t,t,0) = t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.
Há vetores não nulos no núcleo (por exemplo (1,1,0)^\top\]), então \(T_A não é injetora.]

Passo 7

Aplicando o teorema da dimensão (rank-nullity) para reforçar: \n
  • A nulidade (dimensão do núcleo) é 1. \n
  • Logo o posto (rank) é 3-1=2. \n
    Como o posto não é 3, a transformação não escapa a perda de dimensão e, portanto, não é sobrejetora nem injetora. Isso confirma que T_A não é automorfismo.

Resposta

Não. T_{A} não é um automorfismo (pois \det(A)=0 e \ker(T_A)=\mathrm{span}\{(1,1,0)\}\neq\{0\}).

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