Exercício 4

Sejam \vec{v}_{1}=(1,2,3), \vec{v}_{2}=(2,9,4) e \vec{v}_{3}=(1,0,4).
(a) Mostre que os vetores \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} formam uma base do \mathbb{R}^{3}.
(b) Expresse um elemento arbitrário do \mathbb{R}^{3} como combinação linear de \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3}.

Passo 1

O enunciado dá \vec v_{1}=(1,2,3), \vec v_{2}=(2,9,4) e \vec v_{3}=(1,0,4) e pede:
(a) mostrar que \{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} é base de \mathbb{R}^{3};
(b) expressar um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} como combinação linear desses vetores.
Conteúdo: independência linear, determinante e resolução de sistema linear.

Passo 2

Para (a), formamos a matriz cujas colunas são \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}:
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 2 & 9 & 0\\\\ 3 & 4 & 4 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(M) =1\cdot(9\cdot4-0\cdot4)-2\cdot(2\cdot4-0\cdot3)+1\cdot(2\cdot4-9\cdot3) =36-16+(8-27) =1\neq0.

Passo 3

Como \det(M)\neq0, as colunas são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{3}. Logo \{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} é base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 4

Para (b), seja (x,y,z)\) um vetor qualquer. Queremos \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\alpha\vec v_{1}+\beta\vec v_{2}+\gamma\vec v_{3}=(x,y,z),
isto é, o sistema
\begin{cases} \alpha+2\beta+\gamma = x,\\\\ 2\alpha+9\beta = y,\\\\ 3\alpha+4\beta+4\gamma = z. \end{cases}
Da segunda equação (\alpha=(y-9\beta)/2]. Substituindo nas outras e resolvendo, obtemos
\beta = y+2z-8x,\quad \alpha = 36x-4y-9z,\quad \gamma = -19x+2y+5z.

Passo 5

Portanto
(x,y,z) =(36x-4y-9z)\,\vec v_{1}+(y+2z-8x)\,\vec v_{2}+(-19x+2y+5z)\,\vec v_{3}.

Resposta

(a) \det(M)=1\neq0, logo \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é base de \mathbb{R}^{3}.\n (b) Para (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}, (x,y,z) = (36x - 4y - 9z)\,\vec{v}_{1} + (y + 2z - 8x)\,\vec{v}_{2} + (-19x + 2y + 5z)\,\vec{v}_{3}.

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