Sejam \vec{v}_{1}=(1,2,3), \vec{v}_{2}=(2,9,4) e \vec{v}_{3}=(1,0,4).
(a) Mostre que os vetores \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} formam uma base do \mathbb{R}^{3}.
(b) Expresse um elemento arbitrário do \mathbb{R}^{3} como combinação linear de \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3}.
Passo 1
O enunciado dá \vec v_{1}=(1,2,3), \vec v_{2}=(2,9,4) e \vec v_{3}=(1,0,4) e pede:
(a) mostrar que \{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} é base de \mathbb{R}^{3};
(b) expressar um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} como combinação linear desses vetores.
Conteúdo: independência linear, determinante e resolução de sistema linear.
Passo 2
Para (a), formamos a matriz cujas colunas são \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}:
Como \det(M)\neq0, as colunas são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{3}. Logo \{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} é base de \mathbb{R}^{3}.
Passo 4
Para (b), seja (x,y,z)\) um vetor qualquer. Queremos \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que
\[\alpha\vec v_{1}+\beta\vec v_{2}+\gamma\vec v_{3}=(x,y,z),
Da segunda equação (\alpha=(y-9\beta)/2]. Substituindo nas outras e resolvendo, obtemos \beta = y+2z-8x,\quad \alpha = 36x-4y-9z,\quad \gamma = -19x+2y+5z.