Exercício 3

Mostre que se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} são vetores não nulos do \mathbb{R}^{3} ortogonais, isto é, \vec{v}_{i} \cdot \vec{v}_{j}=0, para i \neq j, então \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} é um conjunto LI.

Passo 1

O enunciado diz que temos três vetores não nulos \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\in\mathbb R^{3} tais que
\vec v_{i}\cdot\vec v_{j}=0\quad\text{para }i\neq j.
Queremos mostrar que esse conjunto é linearmente independente (LI), isto é, que a única combinação linear
c_{1}\,\vec v_{1}+c_{2}\,\vec v_{2}+c_{3}\,\vec v_{3}=\vec 0
ocorre quando c_{1}=c_{2}=c_{3}=0.

Passo 2

Suponha que
c_{1}\,\vec v_{1}+c_{2}\,\vec v_{2}+c_{3}\,\vec v_{3}=\vec 0.
Nosso objetivo é provar que c_{1}=c_{2}=c_{3}=0.

Passo 3

Faça produto escalar da combinação com \vec v_{1}. Como \vec 0\cdot\vec v_{1}=0, tem-se
\bigl(c_{1}\,\vec v_{1}+c_{2}\,\vec v_{2}+c_{3}\,\vec v_{3}\bigr)\cdot\vec v_{1} =0.
Pela bilinearidade e ortogonalidade,
c_{1}\,(\vec v_{1}\cdot\vec v_{1}) +c_{2}\,(\vec v_{2}\cdot\vec v_{1}) +c_{3}\,(\vec v_{3}\cdot\vec v_{1}) = c_{1}\,\|\vec v_{1}\|^{2}+0+0 =0.
Como \vec v_{1}\neq\vec0, \|\vec v_{1}\|^{2}>0, segue que c_{1}=0.

Passo 4

Repetindo o mesmo argumento com \vec v_{2}, obtemos
\bigl(c_{1}\,\vec v_{1}+c_{2}\,\vec v_{2}+c_{3}\,\vec v_{3}\bigr)\cdot\vec v_{2} = c_{2}\,\|\vec v_{2}\|^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad c_{2}=0.

Passo 5

Finalmente, fazendo produto escalar com \vec v_{3},
\bigl(c_{1}\,\vec v_{1}+c_{2}\,\vec v_{2}+c_{3}\,\vec v_{3}\bigr)\cdot\vec v_{3} = c_{3}\,\|\vec v_{3}\|^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad c_{3}=0.

Resposta

Como c_{1}=c_{2}=c_{3}=0 é a única solução, \{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} é um conjunto linearmente independente.

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