Exercício 3
Mostre que se
e
são vetores não nulos do
ortogonais, isto é,
, para
, então
é um conjunto LI.
Passo 1
O enunciado diz que temos três vetores não nulos
tais que
Queremos mostrar que esse conjunto é linearmente independente (LI), isto é, que a única combinação linear
ocorre quando
.
Passo 2
Suponha que
Nosso objetivo é provar que
.
Passo 3
Faça produto escalar da combinação com
. Como
, tem-se
Pela bilinearidade e ortogonalidade,
Como
,
, segue que
.
Passo 4
Repetindo o mesmo argumento com
, obtemos
Passo 5
Finalmente, fazendo produto escalar com
,
Resposta
Como
é a única solução,
é um conjunto linearmente independente.