Considere a matriz
D=[llll 1 & 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 & 1 3 & 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 & 3 ]
O desenvolvimento do determinante de A usando o Teorema de Laplace (não precisa efetuar os cálculos, apenas INDICAR o desenvolvimento).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenvolver o determinante da matriz D usando o Teorema de Laplace. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e expansão por menores. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Laplace, que nos ajuda a calcular determinantes de matrizes maiores quebrando elas em partes menores.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz D :
D= 1 & 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 & 1 3 & 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 & 3
Escolheremos uma linha ou coluna para expandir o determinante. Geralmente, é mais fácil escolher uma linha ou coluna com mais números iguais ou zeros, mas como não temos zeros aqui, vamos por exemplo escolher a primeira linha para facilitar.

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema de Laplace na primeira linha, o determinante de D será a soma dos elementos dessa linha multiplicados pelos seus respectivos cofatores. Ou seja:
det(D) = 1 cdot C11 - 1 cdot C12 + 1 cdot C13 - 1 cdot C14

Passo 4

Cada cofator C1j é calculado multiplicando (-1)^1+j pelo determinante da matriz que sobra quando removemos a primeira linha e a coluna j . Então, vamos indicar cada um desses cofatores:
  • C11 = (-1)^1+1 cdot det( 3 & 2 & 1 1 & 1 & 2 2 & 1 & 3 )
  • C12 = (-1)^1+2 cdot det( 2 & 2 & 1 3 & 1 & 2 1 & 1 & 3 )
  • C13 = (-1)^1+3 cdot det( 2 & 3 & 1 3 & 1 & 2 1 & 2 & 3 )
  • C14 = (-1)^1+4 cdot det( 2 & 3 & 2 3 & 1 & 1 1 & 2 & 1 )

Passo 5

Então, juntando tudo, o desenvolvimento do determinante de D usando o Teorema de Laplace fica assim:
det(D) = 1 cdot det( 3 & 2 & 1 1 & 1 & 2 2 & 1 & 3 ) - 1 cdot det( 2 & 2 & 1 3 & 1 & 2 1 & 1 & 3 ) + 1 cdot det( 2 & 3 & 1 3 & 1 & 2 1 & 2 & 3 ) - 1 cdot det( 2 & 3 & 2 3 & 1 & 1 1 & 2 & 1 )

Resposta

Esse é o desenvolvimento do determinante da matriz D usando o Teorema de Laplace!

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