Considere a matriz A=(rrr2 & -1 & -1 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 2)
Determine os autovalores e bases para os auto-espaços correspondentes da matriz A.

Passo 1

Temos a matriz
A = 2 & -1 & -1 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 2
e queremos encontrar os valores próprios (autovalores) lambda e, para cada um, uma base do autoespaço ker(A-lambda I).

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico
A - lambda I = 2-lambda & -1 & -1 1 & -lambda & -1 -1 & 1 & 2-lambda
e
det(A-lambda I) = -( lambda^3 -4lambda^2 +5lambda -2 ) = -(lambda -1)^2(lambda -2)

Passo 3

Da fatoração
det(A-lambda I)=0 Longrightarrow (lambda -1)^2(lambda -2)=0,
vemos que os autovalores são lambda=1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=2 (multiplicidade 1).

Passo 4

Para resolvemos .
daí a única equação independente é
,
ou seja .
Tomando , temos
Logo uma base do autoespaço é
.

Passo 5

Para resolvemos .
as equações dão e .
Tomando ,
Portanto uma base do autoespaço é
.

Resposta

Os autovalores são lambda=1 (mult. 2), com base do autoespaço
(1,1,0),,(1,0,1), e lambda=2 (mult. 1), com base
(-1,-1,1).

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