Dada a matriz A=(rrr1 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 4 & -7 & 1), determine seus autovalores e uma base para o auto-espaço associado a cada autovalor.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 4 & -7 & 1
e pede seus autovalores e bases dos autoespaços. O conteúdo envolvido é teoria de autovalores de matrizes triangulares e resolução de (A-lambda I)x=0.

Passo 2

Como A é triangular inferior, seu polinômio característico é
det(A-lambda I) = (1-lambda)^3 ,,
logo o único autovalor é
lambda = 1
com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 3

Para lambda=1, formamos
A - I = 0 & 0 & 0 -3 & 0 & 0 4 & -7 & 0
e resolvemos
(A-I)x = 0 ,
Dessa equação vem
-3x1 = 0 implies x1=0, -7x2=0 implies x2=0,
enquanto x3 permanece livre.

Passo 4

Portanto o autoespaço associado a lambda=1 é
ker(A-I) = (0,0,x3)^T : x3in R
e uma base desse autoespaço é
(0,0,1)^T

Resposta

O único autovalor é lambda=1 (mult. alg. 3) e o autoespaço ker(A-I) tem base (0,0,1)^T.

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