Considere a matriz A=(rrr2 & -1 & -1 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 2)
Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.

Passo 1

O enunciado pede as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores da matriz
A= 2 & -1 & -1 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 2
O conteúdo usado será: (i) cálculo do polinômio característico det(A-lambda I) para achar as raízes (autovalores) e suas multiplicidades algébricas; (ii) cálculo dos autovetores resolvendo (A-lambda I)x=0 para determinar a dimensão de cada espaço próprio (multiplicidade geométrica).

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico
det(A-lambda I) =det 2-lambda & -1 & -1 1 & -lambda & -1 -1 & 1 & 2-lambda
Expandindo pela primeira linha:
det(A-lambda I) =(2-lambda)det-lambda & -11 & 2-lambda -(-1)det1 & -1-1 & 2-lambda +(-1)det1 & -lambda-1 & 1
Calculando cada menor:
det-lambda & -11 & 2-lambda =-lambda(2-lambda)-(-1)cdot1 =lambda^2-2lambda+1=(lambda-1)^2,
det1 & -1-1 & 2-lambda =1cdot(2-lambda)-(-1)(-1)=2-lambda-1=1-lambda,
det1 & -lambda-1 & 1 =1cdot1-(-lambda)(-1)=1-lambda
Substituindo:
det(A-lambda I) =(2-lambda)(lambda-1)^2+(1-lambda)-(1-lambda) =(2-lambda)(lambda-1)^2

Passo 3

O polinômio característico é, até sinal,
(lambda-1)^2,(2-lambda) Longrightarrow (lambda-1)^2(lambda-2)=0
Logo os autovalores são
lambda=1 com multiplicidade algébrica 2 e
lambda=2 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 4

Para lambda=2, resolvemos (A-2I)x=0:
A-2I = 0 & -1 & -1 1 & -2 & -1 -1 & 1 & 0 ,
Equações equivalentes a
-y-z=0, x-2y-z=0, -x+y=0
Da terceira vem x=y. Da primeira vem y=-z. Substituindo na segunda obtém-se 0=0.
Escolhendo z=t, temos y=-t, x=-t, ou seja o espaço próprio é gerado por -1-11.
Portanto a multiplicidade geométrica de lambda=2 é 1.

Passo 5

Para lambda=1, resolvemos (A-I)x=0:
A-I = 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 -1 & 1 & 1 ,
todas as linhas dão a mesma equação
x-y-z=0Longrightarrow x=y+z
Há dois parâmetros livres ( y e z), logo a dimensão do espaço próprio é 2.
Assim a multiplicidade geométrica de lambda=1 é 2.

Resposta

Autovalor lambda=1: multiplicidade algébrica 2, geométrica 2.
Autovalor lambda=2: multiplicidade algébrica 1, geométrica 1.

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