Considere a matriz
Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor.
Passo 1
O enunciado pede as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores da matriz
A= 2 & -1 & -1 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 2
O conteúdo usado será: (i) cálculo do polinômio característico det(A-lambda I) para achar as raízes (autovalores) e suas multiplicidades algébricas; (ii) cálculo dos autovetores resolvendo (A-lambda I)x=0 para determinar a dimensão de cada espaço próprio (multiplicidade geométrica).
Logo os autovalores são lambda=1 com multiplicidade algébrica 2 e lambda=2 com multiplicidade algébrica 1.
Passo 4
Para lambda=2, resolvemos (A-2I)x=0:
A-2I = 0 & -1 & -1 1 & -2 & -1 -1 & 1 & 0 ,
Equações equivalentes a
-y-z=0, x-2y-z=0, -x+y=0
Da terceira vem x=y. Da primeira vem y=-z. Substituindo na segunda obtém-se 0=0.
Escolhendo z=t, temos y=-t, x=-t, ou seja o espaço próprio é gerado por -1-11.
Portanto a multiplicidade geométrica de lambda=2 é 1.
Passo 5
Para lambda=1, resolvemos (A-I)x=0:
A-I = 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 -1 & 1 & 1 ,
todas as linhas dão a mesma equação
x-y-z=0Longrightarrow x=y+z
Há dois parâmetros livres (y e z), logo a dimensão do espaço próprio é 2.
Assim a multiplicidade geométrica de lambda=1 é 2.