Considere a matriz A=(rrr2 & 1 & 1 2 & 2 & 4 -1 & -1 & -2).
Mostre que a matriz A é diagonalizável e determine a matriz diagonal D correspondente.

Passo 1

Estamos diante de uma matriz AinR^3times3 e o objetivo é mostrar que ela é diagonalizável e determinar a matriz diagonal D cujos elementos na diagonal são os autovalores de A. Para isso, vamos calcular o polinômio característico de A, extrair seus autovalores e usar a propriedade de que uma matriz real de ordem 3 com três autovalores distintos é diagonalizável.

Passo 2

O polinômio característico de A é dado por
chiA(lambda)=detl(A-lambda Ir) =det 2-lambda & 1 & 1 2 & 2-lambda & 4 -1 & -1 & -2-lambda
Expandindo pela primeira linha, obtemos após simplificar
chiA(lambda) =lambda^2(2-lambda)+2lambda-lambda =lambda^2(2-lambda)+lambda =lambdal(lambda^2-2lambda-1r)

Passo 3

As raízes de chiA(lambda)=0 são
lambda1=0, lambda^2-2lambda-1=0;Longrightarrow; lambda2,3=1pmraiz2
Como os três autovalores ;0,;1+raiz2 e ;1-raiz2 são distintos, concluímos que A possui três autovetores linearmente independentes e, portanto, é diagonalizável em R^3.

Passo 4

A matriz diagonal correspondente, na ordem l(lambda1,lambda2,lambda3r), é
D = 0 & 0 & 0 0 & 1+raiz2 & 0 0 & 0 & 1-raiz2

Resposta

A é diagonalizável e a matriz diagonal é
D=diagl(0,;1+raiz2,;1-raiz2r)

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