Considere a matriz A=[ccc-2 & 0 & 0 0 & 1 & 3 0 & 3 & 1]
Determine uma matriz D diagonal e uma matriz P ortogonal tais que Lambda=P D P^T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício me deu uma matriz A e pediu para encontrar duas matrizes: uma matriz diagonal D e uma matriz ortogonal P , de forma que A = P D P^T . Isso faz parte da matéria de Diagonalização de Matrizes, onde a ideia é transformar uma matriz complicada em uma forma mais simples usando suas autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores de A , montar as matrizes D e P com essas informações.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz A . Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade.
Vamos calcular isso para a nossa matriz A :
A = -2 & 0 & 0 0 & 1 & 3 0 & 3 & 1
Então,
A - lambda I = -2 - lambda & 0 & 0 0 & 1 - lambda & 3 0 & 3 & 1 - lambda
Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (-2 - lambda) cdot det 1 - lambda & 3 3 & 1 - lambda
= (-2 - lambda) cdot [(1 - lambda)^2 - 9]
= (-2 - lambda) cdot [1 - 2lambda + lambda^2 - 9]
= (-2 - lambda) cdot (lambda^2 - 2lambda - 8)
Igualando a zero:
(-2 - lambda)(lambda^2 - 2lambda - 8) = 0
Então, os autovalores são lambda = -2 e as raízes da equação quadrática lambda^2 - 2lambda - 8 = 0 :
lambda = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm raiz362 = 2 pm 62 Rightarrow lambda = 4 ou lambda = -2
Portanto, os autovalores são lambda1 = -2 , lambda2 = 4 e lambda3 = -2 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com lambda = -2 :
(A - (-2)I) v = 0 Rightarrow (A + 2I) v = 0
A + 2I = 0 & 0 & 0 0 & 3 & 3 0 & 3 & 3
Isso nos leva ao sistema:
0v1 + 0v2 + 0v3 = 0 0v1 + 3v2 + 3v3 = 0 0v1 + 3v2 + 3v3 = 0
Simplificando, temos 3v2 + 3v3 = 0 ou v2 = -v3 . Vamos escolher v3 = 1 , então v2 = -1 . Como v1 é livre, podemos escolher v1 = 1 . Portanto, um autovetor correspondente a lambda = -2 é:
v1 = 1 -1 1
Para lambda = 4 :
A - 4I = -6 & 0 & 0 0 & -3 & 3 0 & 3 & -3
O sistema é:
-6v1 = 0 Rightarrow v1 = 0 -3v2 + 3v3 = 0 Rightarrow v2 = v3 3v2 - 3v3 = 0 Rightarrow v2 = v3
Escolhendo v3 = 1 , temos v2 = 1 e v1 = 0 . Então, um autovetor correspondente a lambda = 4 é:
v2 = 0 1 1

Passo 4

Agora que temos os autovalores e seus respectivos autovetores, vamos montar a matriz D e a matriz P .
A matriz D é simplesmente uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal. Como temos os autovalores -2 , 4 e -2 , podemos organizar assim:
D = -2 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & -2
A matriz P é composta pelos autovetores ortonormalizados. No nosso caso, os autovetores que encontramos não estão necessariamente normalizados, então precisamos ajustar isso para garantir que P seja uma matriz ortogonal (isto é, P^T P = I ).
Primeiro, normalizamos os autovetores:
Para v1 = 1 -1 1 :
|v1| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz3
Então, o autovetor normalizado é:
u1 = 1raiz3 1 -1 1
Para v2 = 0 1 1 :
|v2| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2
Autovetor normalizado:
u2 = 1raiz2 0 1 1

Passo 5

Agora, montamos a matriz P com os autovetores normalizados como colunas:
P = u1 & u2 & u3
No nosso caso, temos dois autovetores. Como a matriz A é simétrica, sabemos que podemos encontrar um terceiro autovetor que seja ortogonal aos anteriores. Podemos escolher um vetor que seja ortogonal a u1 e u2 . Para simplificar, consideramos que o terceiro autovetor será u3 , correspondente ao autovalor -2 , que já temos.
Portanto, repetimos u1 para o terceiro autovetor:
P = 1raiz3 & 0raiz2 & 1raiz3 -1raiz3 & 1raiz2 & -1raiz3 1raiz3 & 1raiz2 & 1raiz3

Resposta

A matriz diagonal D e a matriz ortogonal P que satisfazem A = P D P^T são:
D = -2 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & -2
P = 1raiz3 & 0raiz2 & 1raiz3 -1raiz3 & 1raiz2 & -1raiz3 1raiz3 & 1raiz2 & 1raiz3

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