Considere a matriz A=[ccc-2 & 0 & 0 0 & 1 & 3 0 & 3 & 1]
Subendo que lambda=4 e lambda=-2 saio os autovalores de A, determine uma base ortonormal de R^3 formada por autovetores de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma matriz A e pede para encontrarmos uma base ortonormal de R^3 formada por autovetores de A . Isso envolve entender um pouco sobre matrizes, autovalores, autovetores e bases ortonormais. Basicamente, precisamos encontrar vetores que não só são autovetores de A , mas que também são perpendicular entre si e têm comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz A e um escalar lambda , se existe um vetor não nulo v tal que Av = lambdav , então lambda é um autovalor de A e v é um autovetor correspondente.
No enunciado, já sabemos que lambda = 4 e lambda = -2 são autovalores de A . Vamos encontrar os autovetores correspondentes.

Passo 3

Vamos começar com [\lambda = 4).
A equação pode ser rearranjada para , onde é a matriz identidade.
Calculando :
Agora, resolvemos o sistema homogêneo :
Das primeiras equações, deduzimos que implica .
Portanto, os autovetores correspondentes a são da forma:
Podemos escolher para simplificar, então um autovetor é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores para [\lambda = -2).
Usando , temos :
Resolvendo o sistema :
As duas últimas equações são iguais, então temos apenas uma condição: .
Como é livre, podemos escolher e para simplificar. Assim, um autovetor é:
E outro autovetor pode ser escolhido com :

Passo 5

Agora que temos dois autovetores v1 e v2 , vamos verificar se eles são ortogonais e depois normalizá-los para formar uma base ortonormal.
Primeiro, calculamos o produto interno entre v1 e v2 :
v1 cdot v2 = 0 times 1 + 1 times 0 + 1 times 0 = 0
Como o produto interno é zero, eles são ortogonais.
Agora, vamos normalizar os vetores para que tenham comprimento 1.
Para v1 :
|v1| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2
Então, o vetor normalizado é:
u1 = 1raiz2 0 1 1
Para v2 :
|v2| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = 1
Já está normalizado:
u2 = 1 0 0
Agora, para v3 :
|v3| = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz2
Vetorizamos:
u3 = 1raiz2 0 1 -1

Passo 6

Por fim, já temos uma base ortonormal formada por autovetores de A :
u1 = 1raiz2 0 1 1 , u2 = 1 0 0 , u3 = 1raiz2 0 1 -1

Resposta

A base ortonormal de R^3 formada por autovetores de A é:
1raiz2 0 1 1 , 1 0 0 , 1raiz2 0 1 -1

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