Sejam
e
.
Determine uma base
ortogonal de
.
Determine uma base
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores que geram o espaço
. Especificamente,
. O objetivo é encontrar uma base ortogonal para esse espaço. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma um conjunto de vetores em uma base ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que vão gerar a nossa base. Vamos chamar:
Esses são os vetores que formam o conjunto gerador de
.
Passo 3
O próximo passo é aplicar o processo de Gram-Schmidt para transformar esses vetores em uma base ortogonal. Começamos com o primeiro vetor:
Este será o primeiro vetor da nossa base ortogonal.
Passo 4
Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor em relação a
. Calculamos a projeção de
em
:
Primeiro, calculamos os produtos internos:
Então:
Agora, subtraímos essa projeção de
para obter
:
Passo 5
Agora, vamos ortogonalizar o terceiro vetor em relação a
e
. Primeiro, calculamos a projeção de
em
:
Calculando os produtos internos:
Em seguida, calculamos a projeção de
em
:
Calculando os produtos internos:
Então:
Finalmente, subtraímos as projeções de
para obter
:
Passo 6
Agora temos os vetores
,
e
que são ortogonais entre si. Para finalizar, podemos normalizar esses vetores se quisermos uma base ortonormal, mas como a questão pede apenas uma base ortogonal, já está tudo certo.
Resposta
Uma base ortogonal de
é formada pelos vetores: