Sejam U=Span(1,0,0,1),(0,1,0,1),(1,1,0,0) e v=(1,1,1,1).
Determine uma base B ortogonal de U.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores que geram o espaço U . Especificamente, U = Span(1,0,0,1), (0,1,0,1), (1,1,0,0) . O objetivo é encontrar uma base ortogonal para esse espaço. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma um conjunto de vetores em uma base ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que vão gerar a nossa base. Vamos chamar:
u1 = (1, 0, 0, 1), u2 = (0, 1, 0, 1), u3 = (1, 1, 0, 0)
Esses são os vetores que formam o conjunto gerador de U .

Passo 3

O próximo passo é aplicar o processo de Gram-Schmidt para transformar esses vetores em uma base ortogonal. Começamos com o primeiro vetor:
v1 = u1 = (1, 0, 0, 1)
Este será o primeiro vetor da nossa base ortogonal.

Passo 4

Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor em relação a v1 . Calculamos a projeção de u2 em v1 :
projv1 u2 = ( u2 cdot v1v1 cdot v1 ) v1
Primeiro, calculamos os produtos internos:
u2 cdot v1 = (0)(1) + (1)(0) + (0)(0) + (1)(1) = 1
v1 cdot v1 = (1)^2 + (0)^2 + (0)^2 + (1)^2 = 2
Então:
projv1 u2 = ( 12 ) (1, 0, 0, 1) = ( 12, 0, 0, 12 )
Agora, subtraímos essa projeção de u2 para obter v2 :
v2 = u2 - projv1 u2 = (0, 1, 0, 1) - ( 12, 0, 0, 12 ) = ( -12, 1, 0, 12 )

Passo 5

Agora, vamos ortogonalizar o terceiro vetor em relação a v1 e v2 . Primeiro, calculamos a projeção de u3 em v1 :
projv1 u3 = ( u3 cdot v1v1 cdot v1 ) v1
Calculando os produtos internos:
u3 cdot v1 = (1)(1) + (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 1
projv1 u3 = ( 12 ) (1, 0, 0, 1) = ( 12, 0, 0, 12 )
Em seguida, calculamos a projeção de u3 em v2 :
projv2 u3 = ( u3 cdot v2v2 cdot v2 ) v2
Calculando os produtos internos:
u3 cdot v2 = (1)(-12) + (1)(1) + (0)(0) + (0)(12) = -12 + 1 = 12
v2 cdot v2 = (-12)^2 + (1)^2 + (0)^2 + (12)^2 = 14 + 1 + 0 + 14 = 32
Então:
projv2 u3 = ( 1232 ) ( -12, 1, 0, 12 ) = ( 13, -23, 0, 13 )
Finalmente, subtraímos as projeções de u3 para obter v3 :
v3 = u3 - projv1 u3 - projv2 u3 = (1, 1, 0, 0) - ( 12, 0, 0, 12 ) - ( 13, -23, 0, 13 )
v3 = (1 - 12 - 13, 1 - 0 + 23, 0 - 0 - 0, 0 - 12 - 13) = (16, 53, 0, -56)

Passo 6

Agora temos os vetores v1 , v2 e v3 que são ortogonais entre si. Para finalizar, podemos normalizar esses vetores se quisermos uma base ortonormal, mas como a questão pede apenas uma base ortogonal, já está tudo certo.

Resposta

Uma base ortogonal de U é formada pelos vetores:
v1 = (1, 0, 0, 1)
v2 = ( -12, 1, 0, 12 )
v3 = ( 16, 53, 0, -56 )

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