Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar a projeção ortogonal do vetor no subespaço que é gerado pelos vetores , e . Para isso, vamos precisar trabalhar com conceitos de projeção em subespaços, matrizes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o subespaço de forma mais clara. Ele é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores , e . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como:
onde são coeficientes reais.
Passo 3
Agora, para encontrar a projeção ortogonal de em , precisamos encontrar os coeficientes que minimizam a distância entre e . Isso leva a resolver um sistema de equações que garante que o erro seja ortogonal a cada um dos vetores que geram .
Passo 4
Vamos montar a matriz cujas colunas são os vetores que geram :