Sejam U=Span(1,0,0,1),(0,1,0,1),(1,1,0,0) e v=(1,1,1,1).
Determine a projeção ortogonal de v em U.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar a projeção ortogonal do vetor v = (1,1,1,1) no subespaço U que é gerado pelos vetores (1,0,0,1) , (0,1,0,1) e (1,1,0,0) . Para isso, vamos precisar trabalhar com conceitos de projeção em subespaços, matrizes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o subespaço U de forma mais clara. Ele é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores u1 = (1,0,0,1) , u2 = (0,1,0,1) e u3 = (1,1,0,0) . Isso significa que qualquer vetor em U pode ser escrito como:
p = c1 u1 + c2 u2 + c3 u3
onde c1, c2, c3 são coeficientes reais.

Passo 3

Agora, para encontrar a projeção ortogonal de v em U , precisamos encontrar os coeficientes c1, c2, c3 que minimizam a distância entre v e p . Isso leva a resolver um sistema de equações que garante que o erro v - p seja ortogonal a cada um dos vetores que geram U .

Passo 4

Vamos montar a matriz A cujas colunas são os vetores que geram U :
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0
O próximo passo é calcular A^T A e A^T v :
A^T A = 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & 0 = 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2
E
A^T v = 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 & 0 1 1 1 1 = 1 + 0 + 1 + 1 0 + 1 + 1 + 1 1 + 1 + 0 + 0 = 3 3 2

Passo 5

Agora, temos o sistema [A^T A c = A^T v):
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Subtraindo a primeira equação da terceira:
Agora, substituindo na primeira equação:
Então, e .

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, podemos montar a projeção p :
p = 1 cdot u1 + 1 cdot u2 + 0 cdot u3 = (1,0,0,1) + (0,1,0,1) + (0,0,0,0) = (1,1,0,2)

Resposta

A projeção ortogonal de v = (1,1,1,1) em U é (1, 1, 0, 2) .

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