Determine, quais dos conjuntos abaixxo são espaços vetoriais com as operaçỗes dadas. Para os que não são liste todas as propriedades que falham.
V=R^n com as operaçõ̃es de soma e produtos usuais.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto V=R^n, com soma e multiplicação por escalar usuais (isto é, soma e produto definidos componente a componente), é um espaço vetorial. Vamos precisar lembrar dos oito axiomas: primeiro que (R^n,+) forme um grupo abeliano, e depois as propriedades que envolvem o produto por escalares (fechamento, distributividades, associatividade e elemento identidade).

Passo 2

Verificando que (R^n,+) é um grupo abeliano:
  1. Fechamento: se u,vinR^n, então u+v é soma componente a componente e está em R^n.
  2. Associatividade: para quaisquer u,v,w, (u+v)+w=u+(v+w) porque cada coordenada satisfaz a associatividade em R.
  3. Comutatividade: u+v=v+u coordenada a coordenada.
  4. Elemento neutro: existe 0=(0,0,dots,0)inR^n tal que u+0=u.
  5. Inverso aditivo: para cada u existe -u=(-u1,-u2,dots,-un) em R^n e u+(-u)=0.

Passo 3

Verificando as propriedades de multiplicação por escalar:
  1. Fechamento: se alphainR e uinR^n, então alpha u está em R^n.
  2. Distributividade em relação à soma de vetores:
    alpha(u+v)=(alpha u)+(alpha v) porque vale coordenada a coordenada em R.
  3. Distributividade em relação à soma de escalares:
    (alpha+beta)u=(alpha u)+(beta u).
  4. Compatibilidade de escalares:
    (alphabeta)u=alpha(beta u).
  5. Elemento identidade dos escalares:
    1cdot u=u para todo u.

Resposta

Sim. R^n com as operações usuais satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial e, portanto, é um espaço vetorial.

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