Determine, quais dos conjuntos abaixxo são espaços vetoriais com as operaçỗes dadas. Para os que não são liste todas as propriedades que falham.
com as operaçõ̃es de soma e produtos usuais.
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
, com soma e multiplicação por escalar usuais (isto é, soma e produto definidos componente a componente), é um espaço vetorial. Vamos precisar lembrar dos oito axiomas: primeiro que
forme um grupo abeliano, e depois as propriedades que envolvem o produto por escalares (fechamento, distributividades, associatividade e elemento identidade).
Passo 2
Verificando que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: se
, então é soma componente a componente e está em . - Associatividade: para quaisquer
, porque cada coordenada satisfaz a associatividade em . - Comutatividade:
coordenada a coordenada. - Elemento neutro: existe
tal que . - Inverso aditivo: para cada
existe em e .
Passo 3
Verificando as propriedades de multiplicação por escalar:
- Fechamento: se
e , então está em . - Distributividade em relação à soma de vetores:
porque vale coordenada a coordenada em . - Distributividade em relação à soma de escalares:
. - Compatibilidade de escalares:
. - Elemento identidade dos escalares:
para todo .
Resposta
Sim.
com as operações usuais satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial e, portanto, é um espaço vetorial.