Considere a matriz A=[rrrr1 & 3 & 5 & 7 3 & 2 & 1 & 0 4 & 3 & 0 & 2 1 & 3 & 5 & -2].
(a) Determine a matriz A1 que é obtida a partir de A substituindo-se a linha 2 pela soma da linha 2 com menos 3 vezes a linha 1.
(b) Determine a matriz A2 que é obtida a partir de A1 substituindo-se a linha 3 pela soma da linha 3 com menos 4 vezes a linha 1.
(c) Determine a matriz A3 que é obtida a partir de A2 substituindo-se a linha 4 pela linha 4 menos a linha 1.
(d) Determine a matriz A4 que é obtida a partir de A3 dividindo-se a linha 2 por -7 .
(e) Determine a matriz A5 que é obtida a partir de A4 substituindo-se a linha 3 pela linha 3 mais 9 vezes a linha 2.
(f) Note que a matriz A5 é triangular superior. Usando as propriedades de determinantes, calcule os determinantes das matrizes A, A1, A2, A3, A4 e A5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um exercício envolvendo matrizes e determinantes. O que a gente vai fazer aqui é transformar a matriz original A em outras matrizes ( A1, A2, A3, A4, A5 ) seguindo algumas operações de linhas. Depois disso, vamos calcular os determinantes dessas matrizes usando propriedades matemáticas. Para isso, vamos precisar entender como fazer operações com linhas em matrizes e como essas operações afetam o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente precisa encontrar a matriz A1 que é obtida substituindo a linha 2 da matriz A pela soma da linha 2 com menos 3 vezes a linha 1.
Vamos relembrar que realizar operações com linhas é uma técnica comum para simplificar matrizes, especialmente quando estamos interessados em calcular determinantes ou resolver sistemas de equações.
A matriz inicial A é:
A = 1 & 3 & 5 & 7 3 & 2 & 1 & 0 4 & 3 & 0 & 2 1 & 3 & 5 & -2
Agora, vamos substituir a linha 2 ( L2 ) pela soma de L2 e (-3) vezes L1 :
L2' = L2 + (-3) times L1
Calculando cada elemento da nova linha 2:
L2'[1] &= 3 + (-3) times 1 = 3 - 3 = 0 L2'[2] &= 2 + (-3) times 3 = 2 - 9 = -7 L2'[3] &= 1 + (-3) times 5 = 1 - 15 = -14 L2'[4] &= 0 + (-3) times 7 = 0 - 21 = -21
Então, a nova matriz A1 fica:
A1 = 1 & 3 & 5 & 7 0 & -7 & -14 & -21 4 & 3 & 0 & 2 1 & 3 & 5 & -2

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos determinar a matriz A2 a partir de A1 , substituindo a linha 3 pela soma da linha 3 com menos 4 vezes a linha 1.
A matriz A1 que temos é:
A1 = 1 & 3 & 5 & 7 0 & -7 & -14 & -21 4 & 3 & 0 & 2 1 & 3 & 5 & -2
Vamos substituir a linha 3 ( L3 ) pela soma de L3 e (-4) vezes L1 :
L3' = L3 + (-4) times L1
Calculando cada elemento da nova linha 3:
L3'[1] &= 4 + (-4) times 1 = 4 - 4 = 0 L3'[2] &= 3 + (-4) times 3 = 3 - 12 = -9 L3'[3] &= 0 + (-4) times 5 = 0 - 20 = -20 L3'[4] &= 2 + (-4) times 7 = 2 - 28 = -26
Então, a matriz A2 fica:
A2 = 1 & 3 & 5 & 7 0 & -7 & -14 & -21 0 & -9 & -20 & -26 1 & 3 & 5 & -2

Passo 4

Seguimos para a parte (c). Agora, precisamos encontrar a matriz A3 substituindo a linha 4 pela soma da linha 4 com menos a linha 1.
A matriz A2 é:
A2 = 1 & 3 & 5 & 7 0 & -7 & -14 & -21 0 & -9 & -20 & -26 1 & 3 & 5 & -2
Vamos substituir a linha 4 ( L4 ) pela soma de L4 e (-1) vezes L1 :
L4' = L4 + (-1) times L1
Calculando cada elemento da nova linha 4:
L4'[1] &= 1 + (-1) times 1 = 1 - 1 = 0 L4'[2] &= 3 + (-1) times 3 = 3 - 3 = 0 L4'[3] &= 5 + (-1) times 5 = 5 - 5 = 0 L4'[4] &= -2 + (-1) times 7 = -2 - 7 = -9
Então, a matriz A3 fica:
A3 = 1 & 3 & 5 & 7 0 & -7 & -14 & -21 0 & -9 & -20 & -26 0 & 0 & 0 & -9

Passo 5

Vamos para a parte (d). Precisamos encontrar a matriz A4 dividindo a linha 2 da matriz A3 por -7.
A matriz A3 é:
A3 = 1 & 3 & 5 & 7 0 & -7 & -14 & -21 0 & -9 & -20 & -26 0 & 0 & 0 & -9
Para dividir a linha 2 ( L2 ) por -7, fazemos:
L2' = L2-7
Calculando cada elemento da nova linha 2:
L2'[1] &= 0-7 = 0 L2'[2] &= -7-7 = 1 L2'[3] &= -14-7 = 2 L2'[4] &= -21-7 = 3
Então, a matriz A4 fica:
A4 = 1 & 3 & 5 & 7 0 & 1 & 2 & 3 0 & -9 & -20 & -26 0 & 0 & 0 & -9

Passo 6

Agora, vamos para a parte (e). Precisamos determinar a matriz A5 substituindo a linha 3 pela soma da linha 3 com 9 vezes a linha 2 da matriz A4 .
A matriz A4 é:
A4 = 1 & 3 & 5 & 7 0 & 1 & 2 & 3 0 & -9 & -20 & -26 0 & 0 & 0 & -9
Vamos substituir a linha 3 ( L3 ) pela soma de L3 e 9 vezes L2 :
L3' = L3 + 9 times L2
Calculando cada elemento da nova linha 3:
L3'[1] &= 0 + 9 times 0 = 0 L3'[2] &= -9 + 9 times 1 = -9 + 9 = 0 L3'[3] &= -20 + 9 times 2 = -20 + 18 = -2 L3'[4] &= -26 + 9 times 3 = -26 + 27 = 1
Então, a matriz A5 fica:
A5 = 1 & 3 & 5 & 7 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & -9

Passo 7

Finalmente, chegamos na parte (f). Sabemos que a matriz A5 é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Vamos calcular os determinantes das matrizes A, A1, A2, A3, A4 e A5 .
Primeiro, precisamos lembrar que algumas operações de linha afetam o determinante de formas específicas:
  1. Substituir uma linha por ela mesma mais um múltiplo de outra linha: Não altera o determinante.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar k : Multiplica o determinante por k .
  3. Trocar duas linhas: Inverte o sinal do determinante.
Vamos acompanhar as operações que fizemos para transformar A em A5 :
  • De A para A1 : Substituímos L2 por L2 - 3L1 → Não altera o determinante.
  • De A1 para A2 : Substituímos L3 por L3 - 4L1 → Não altera o determinante.
  • De A2 para A3 : Substituímos L4 por L4 - L1 → Não altera o determinante.
  • De A3 para A4 : Multiplicamos L2 por 1-7 → Multiplicamos o determinante por 1-7 .
  • De A4 para A5 : Substituímos L3 por L3 + 9L2 → Não altera o determinante.
Agora, vamos calcular o determinante de A5 :
det(A5) = 1 times 1 times (-2) times (-9) = 1 times 1 times (-2) times (-9) = 18
Agora, vamos voltar pelas operações para encontrar os determinantes das matrizes anteriores:
  • De A4 para A5 : Nenhuma mudança no determinante → det(A4) = det(A5) = 18 .
  • De A3 para A4 : Multiplicamos o determinante por 1-7 det(A3) = det(A4) times (-7) = 18 times (-7) = -126 .
  • De A2 para A3 : Nenhuma mudança no determinante → det(A2) = det(A3) = -126 .
  • De A1 para A2 : Nenhuma mudança no determinante → det(A1) = det(A2) = -126 .
  • De A para A1 : Nenhuma mudança no determinante → det(A) = det(A1) = -126 .

Resposta

Os determinantes das matrizes são os seguintes:
det(A) &= -126 det(A1) &= -126 det(A2) &= -126 det(A3) &= -126 det(A4) &= 18 det(A5) &= 18

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