Considere a matriz .
(a) Determine a matriz A1 que é obtida a partir de A substituindo-se a linha 2 pela soma da linha 2 com menos 3 vezes a linha 1.
(b) Determine a matriz A2 que é obtida a partir de A1 substituindo-se a linha 3 pela soma da linha 3 com menos 4 vezes a linha 1.
(c) Determine a matriz A3 que é obtida a partir de A2 substituindo-se a linha 4 pela linha 4 menos a linha 1.
(d) Determine a matriz A4 que é obtida a partir de A3 dividindo-se a linha 2 por -7 .
(e) Determine a matriz A5 que é obtida a partir de A4 substituindo-se a linha 3 pela linha 3 mais 9 vezes a linha 2.
(f) Note que a matriz A5 é triangular superior. Usando as propriedades de determinantes, calcule os determinantes das matrizes A, A1, A2, A3, A4 e A5.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um exercício envolvendo matrizes e determinantes. O que a gente vai fazer aqui é transformar a matriz original A em outras matrizes ( A1, A2, A3, A4, A5 ) seguindo algumas operações de linhas. Depois disso, vamos calcular os determinantes dessas matrizes usando propriedades matemáticas. Para isso, vamos precisar entender como fazer operações com linhas em matrizes e como essas operações afetam o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a) do exercício. A gente precisa encontrar a matriz A1 que é obtida substituindo a linha 2 da matriz A pela soma da linha 2 com menos 3 vezes a linha 1.
Vamos relembrar que realizar operações com linhas é uma técnica comum para simplificar matrizes, especialmente quando estamos interessados em calcular determinantes ou resolver sistemas de equações.
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos determinar a matriz A2 a partir de A1 , substituindo a linha 3 pela soma da linha 3 com menos 4 vezes a linha 1.
Finalmente, chegamos na parte (f). Sabemos que a matriz A5 é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Vamos calcular os determinantes das matrizes A, A1, A2, A3, A4 e A5 .
Primeiro, precisamos lembrar que algumas operações de linha afetam o determinante de formas específicas:
Substituir uma linha por ela mesma mais um múltiplo de outra linha: Não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar k : Multiplica o determinante por k .
Trocar duas linhas: Inverte o sinal do determinante.
Vamos acompanhar as operações que fizemos para transformar A em A5 :
De A para A1 : Substituímos L2 por L2 - 3L1 → Não altera o determinante.
De A1 para A2 : Substituímos L3 por L3 - 4L1 → Não altera o determinante.
De A2 para A3 : Substituímos L4 por L4 - L1 → Não altera o determinante.
De A3 para A4 : Multiplicamos L2 por 1-7 → Multiplicamos o determinante por 1-7 .
De A4 para A5 : Substituímos L3 por L3 + 9L2 → Não altera o determinante.
Agora, vamos calcular o determinante de A5 :
det(A5) = 1 times 1 times (-2) times (-9) = 1 times 1 times (-2) times (-9) = 18
Agora, vamos voltar pelas operações para encontrar os determinantes das matrizes anteriores:
De A4 para A5 : Nenhuma mudança no determinante → det(A4) = det(A5) = 18 .
De A3 para A4 : Multiplicamos o determinante por 1-7 → det(A3) = det(A4) times (-7) = 18 times (-7) = -126 .
De A2 para A3 : Nenhuma mudança no determinante → det(A2) = det(A3) = -126 .
De A1 para A2 : Nenhuma mudança no determinante → det(A1) = det(A2) = -126 .
De A para A1 : Nenhuma mudança no determinante → det(A) = det(A1) = -126 .