Sabendo que |llla & b & c d & e & f g & h & i|=3, calcule os determinantes a seguir.
|llld & e & f g & h & i a & b & c|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um determinante de uma matriz 3x3 dado por:
a & b & c d & e & f g & h & i = 3
E precisamos calcular outro determinante que é essa mesma matriz, mas com as linhas rearranjadas:
d & e & f g & h & i a & b & c
Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes, especificamente como eles mudam quando rearranjamos as linhas da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o determinante quando a gente troca as linhas de lugar. Sabemos que:
  • Trocar duas linhas de uma matriz muda o sinal do determinante.
Então, cada vez que a gente faz uma troca de linhas, o determinante fica com o sinal invertido (de positivo para negativo ou vice-versa).

Passo 3

Agora, vamos ver quantas trocas de linhas precisamos fazer para transformar a matriz original na nova matriz que queremos calcular o determinante.
A matriz original é:
a & b & c d & e & f g & h & i
E a matriz que queremos é:
d & e & f g & h & i a & b & c
Para chegar lá, precisamos mover a primeira linha para a terceira posição. Isso pode ser feito em duas trocas:
  1. Primeira troca: Trocar a primeira linha com a segunda.
d & e & f a & b & c g & h & i
  1. Segunda troca: Agora, trocar a segunda linha (que era a primeira originalmente) com a terceira.
d & e & f g & h & i a & b & c

Passo 4

Cada troca de linhas inverte o sinal do determinante. Como fizemos duas trocas, o sinal será invertido duas vezes:
Determinante final = (-1)^2 times Determinante original = 1 times 3 = 3

Resposta

O valor do determinante d & e & f g & h & i a & b & c é 3.

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