Considere a matriz
A=[ll 4 & 2 2 & 1 ]
Determine uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tal que P^-1 A P=D.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar por congruência ortogonal a matriz
A = 4 & 2 2 & 1,
isto é, encontrar uma matriz ortogonal P (com P^-1=P^T) e uma matriz diagonal D tais que
P^-1 A P = D
Como A é simétrica, vale o Teorema Espectral: ela sempre se diagonaliza por uma base ortonormal de autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det4-lambda & 2 [6pt] 2 & 1-lambda = (4-lambda)(1-lambda)-2cdot2 = lambda^2 -5lambda
Logo lambda(lambda-5)=0, isto é, os autovalores são
lambda1 = 0 e lambda2 = 5
]

Passo 3

Para , resolvemos :
Um autovetor associado é
Para , resolvemos :
Um autovetor associado é
]

Passo 4

Normalizamos os autovetores para obter uma base ortonormal:
|v2| = raiz2^2 + 1^2 = raiz5, |v1| = raiz1^2 + (-2)^2 = raiz5
Definimos
u2 = 1raiz521, u1 = 1raiz51-2
Então u2,u1 é uma base ortonormal de R^2.

Passo 5

Colocamos esses vetores como colunas de P na ordem dos autovalores 5 e 0:
P = 2raiz5 & 1raiz5 [6pt] 1raiz5 & -tfrac2raiz5 , D = 5 & 0 [3pt] 0 & 0
Como P é ortogonal, temos P^-1=P^T e de fato
P^-1AP = D
]

Resposta

A matriz ortogonal e a matriz diagonal são
P = 2raiz5 & 1raiz5 [6pt] 1raiz5 & -tfrac2raiz5 , D = 5 & 0 [3pt] 0 & 0
]

Exercícios relacionados