Considere a matriz
Determine uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal
D tal que
P^-1 A P=D .
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar por congruência ortogonal a matriz
isto é, encontrar uma matriz ortogonal
P (com
P^-1=P^T ) e uma matriz diagonal
D tais que
Como
A é simétrica, vale o Teorema Espectral: ela sempre se diagonaliza por uma base ortonormal de autovetores.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A :
Logo
lambda(lambda-5)=0 , isto é, os autovalores são
]
Passo 3
Para
, resolvemos
:
Um autovetor associado é
Para
, resolvemos
:
Um autovetor associado é
]
Passo 4
Normalizamos os autovetores para obter uma base ortonormal:
Definimos
Então
u2,u1 é uma base ortonormal de
R^2 .
Passo 5
Colocamos esses vetores como colunas de
P na ordem dos autovalores
5 e
0 :
Como
P é ortogonal, temos
P^-1=P^T e de fato
]
Resposta
A matriz ortogonal e a matriz diagonal são
]