Exercício 1. Considere o plano de equação .
(a) Mostre que este plano é um subespaço de exibindo uma base para . Observe que se este é o caso, então é o espaço gerado por e , ou seja, é o conjunto de todas as combinações lineares de e . Complete esta base de para uma base de .
Passo 1
O enunciado nos dá o plano definido por
Pede-se (i) mostrar que é um subespaço de exibindo uma base para e (ii) completar essa base para uma base de . O conteúdo envolve teoria de subespaços, núcleo de transformações lineares, parametrização de soluções e completamento de bases em .
Passo 2
Note que é o conjunto solução da equação homogênea
isto é, . Como o núcleo de qualquer forma linear é subespaço, concluímos que passa pela origem e é fechado sob soma e multiplicação escalar, logo é subespaço de .
Passo 3
Para achar uma base de , parametrizamos as soluções de . Tomemos parâmetros e escrevamos
Assim, um vetor genérico de é
Definimos então
Para ver que é LI, suponha ; isso dá
e daí , . Logo é base de .
Passo 4
Para completar
Mostramos que é LI. Se
então, coordenada a coordenada,
Da primeira . Substituindo na segunda obtém-se , logo e, em sequência, . Assim é LI e gera .