Exercício 1. Considere o plano pi de equação 2 x+y-3 z=0.
(a) Mostre que este plano é um subespaço de R^3 exibindo uma base W1, W2 para pi. Observe que se este é o caso, então pi é o espaço gerado por W1 e W2, ou seja, pi é o conjunto de todas as combinações lineares de W1 e W2. Complete esta base W1, W2 de pi para uma base W1, W2, W3 de R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano pisubsetR^3 definido por
2x+y-3z=0
Pede-se (i) mostrar que pi é um subespaço de R^3 exibindo uma base W1,W2 para pi e (ii) completar essa base para uma base W1,W2,W3 de R^3. O conteúdo envolve teoria de subespaços, núcleo de transformações lineares, parametrização de soluções e completamento de bases em R^3.

Passo 2

Note que pi é o conjunto solução da equação homogênea
f(x,y,z)=2x+y-3z=0,
isto é, pi=ker(f). Como o núcleo de qualquer forma linear f:R^3toR é subespaço, concluímos que pi passa pela origem e é fechado sob soma e multiplicação escalar, logo é subespaço de R^3.

Passo 3

Para achar uma base de pi, parametrizamos as soluções de 2x+y-3z=0. Tomemos parâmetros s,tinR e escrevamos
x=s, z=t, y=-2s+3t
Assim, um vetor genérico de pi é
(x,y,z)=(s,-2s+3t,t) =s,(1,-2,0)+t,(0,3,1)
Definimos então
W1=(1,-2,0), W2=(0,3,1)
Para ver que W1,W2 é LI, suponha aW1+bW2=0; isso dá
(a,,-2a+3b,;b)=(0,0,0)
e daí a=0, b=0. Logo W1,W2 é base de pi.

Passo 4

Para completar
Mostramos que é LI. Se
então, coordenada a coordenada,
Da primeira . Substituindo na segunda obtém-se , logo e, em sequência, . Assim é LI e gera .

Resposta

Uma base de pi é
W1=(1,-2,0), W2=(0,3,1),
e completando para R^3 temos
W3=(2,1,-3),
de modo que W1,W2,W3 é base de R^3.

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