Exercício 1. Considere o plano pi de equação 2 x+y-3 z=0.
(b) Determine uma base ortogonal V1, V2 de pi. Complete esta base para uma base ortogonal V1, V2, V3 de R^3.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal do plano pi de equação
2x+y-3z=0
e depois completar essa base para uma base ortogonal de R^3.
O que precisamos usar:
– Um vetor normal ao plano, obtido diretamente dos coeficientes da equação.
– A definição de produto escalar para impor que dois vetores sejam ortogonais.

Passo 2

Para encontrar um vetor não-nulo V1 que pertença a pi, basta escolher coordenadas que satisfaçam
2x+y-3z=0
Por exemplo, tomando x=3 e y=0 temos
2cdot3 + 0 - 3z = 0 Longrightarrow z=2
Logo podemos escolher
V1 = (3,0,2)

Passo 3

Agora precisamos de um segundo vetor V2=(a,b,c) também em pi e ortogonal a V1. As duas condições são:
2a + b - 3c = 0
(equação do plano) e
(3,0,2)cdot(a,b,c)=0 ;Longrightarrow; 3a + 2c=0

Passo 4

Do sistema
2a + b - 3c = 0, 3a + 2c = 0,
da segunda equação vem c = -tfrac3a2. Substituindo na primeira:
2a + b -3l(-tfrac3a2r)=0 ;Longrightarrow; 2a + b + tfrac9a2=0 ;Longrightarrow; b = -tfrac13a2
Para evitar frações, escolhemos a=2, obtendo
b = -13, c=-3,
ou seja
V2 = (2,,-13,,-3)

Passo 5

O vetor normal ao plano pi é
V3 = (2,1,-3),
pois seus componentes são justamente os coeficientes de x,y,z na equação de pi. Esse V3 é ortogonal a todo vetor de pi.

Passo 6

Verificações rápidas:
V1cdot V2 = 3cdot2 + 0cdot(-13) + 2cdot(-3) = 6 - 6 = 0,
V1cdot V3 = 3cdot2 + 0cdot1 + 2cdot(-3) = 6 - 6 = 0,
V2cdot V3 = 2cdot2 + (-13)cdot1 + (-3)cdot(-3) = 4 -13 +9 = 0
Portanto V1,V2 é base ortogonal de pi e V1,V2,V3 é base ortogonal de R^3.

Resposta

Uma escolha é
V1 = (3,0,2), V2 = (2,-13,-3)
que formam uma base ortogonal de pi, e completamos com
V3 = (2,1,-3)
para obter uma base ortogonal de R^3.

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