Exercício 1. Considere o plano de equação .
(b) Determine uma base ortogonal de . Complete esta base para uma base ortogonal de .
Passo 1
O enunciado pede uma base ortogonal do plano de equação
e depois completar essa base para uma base ortogonal de .
O que precisamos usar:
– Um vetor normal ao plano, obtido diretamente dos coeficientes da equação.
– A definição de produto escalar para impor que dois vetores sejam ortogonais.
Passo 2
Para encontrar um vetor não-nulo que pertença a , basta escolher coordenadas que satisfaçam
Por exemplo, tomando e temos
Logo podemos escolher
Passo 3
Agora precisamos de um segundo vetor também em e ortogonal a . As duas condições são:
(equação do plano) e
Passo 4
Do sistema
da segunda equação vem c = -tfrac3a2. Substituindo na primeira:
2a + b -3l(-tfrac3a2r)=0 ;Longrightarrow; 2a + b + tfrac9a2=0 ;Longrightarrow; b = -tfrac13a2
Para evitar frações, escolhemos a=2, obtendo
b = -13, c=-3,
ou seja
V2 = (2,,-13,,-3)
Passo 5
O vetor normal ao plano pi é
V3 = (2,1,-3),
pois seus componentes são justamente os coeficientes de x,y,z na equação de pi. Esse V3 é ortogonal a todo vetor de pi.