Considere o seguinte subconjunto de
:
Descreva geometricamente este conjunto
e determine sua equação geral. Determine também um par de vetores unitários em
e que sejam perpendiculares entre si, ou seja, determine uma base ortonormal de
.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
O conteúdo envolve produto escalar em
, a descrição de um plano através da condição
e o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal.
Passo 2
Geometricamente,
é o conjunto de todos os vetores que formam ângulo reto com
. Como
, esse conjunto é um plano que passa pela origem e é perpendicular a
.
Passo 3
Se
, a condição
é
Essa é a equação geral do plano
.
Passo 4
Para construir uma base de
, escolhemos dois vetores independentes que satisfaçam
. Por exemplo,
De fato,
e
.
Passo 5
Aplicamos o processo de Gram–Schmidt a
:
-
Normalizamos
: -
Subtraímos de
sua projeção sobre :
- Normalizamos
:
Dessa forma
é uma base ortonormal de
.
Resposta
Geometricamente,
é o plano passando pela origem e ortogonal a
. Sua equação geral é
Uma base ortonormal de
é