Considere o seguinte subconjunto de R^3 :
W=V in R^3 tal que V é ortogonal ao vetor V0=(2,-1,1) é
Descreva geometricamente este conjunto W e determine sua equação geral. Determine também um par de vetores unitários em W e que sejam perpendiculares entre si, ou seja, determine uma base ortonormal de W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = ,VinR^3 mid V é ortogonal a V0=(2,-1,1) é
O conteúdo envolve produto escalar em R^3, a descrição de um plano através da condição Vcdot V0=0 e o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal.

Passo 2

Geometricamente, W é o conjunto de todos os vetores que formam ângulo reto com V0. Como V0neq0, esse conjunto é um plano que passa pela origem e é perpendicular a V0.

Passo 3

Se V=(x,y,z), a condição Vcdot V0=0 é
2x - y + z = 0
Essa é a equação geral do plano W.

Passo 4

Para construir uma base de W, escolhemos dois vetores independentes que satisfaçam 2a - b + c=0. Por exemplo,
v1 = (1,2,0), v2 = (1,0,-2)
De fato, 2cdot1 - 2 + 0 = 0 e 2cdot1 - 0 + (-2)=0.

Passo 5

Aplicamos o processo de Gram–Schmidt a :
  1. Normalizamos :
  2. Subtraímos de sua projeção sobre :
  1. Normalizamos :
Dessa forma é uma base ortonormal de .

Resposta

Geometricamente, W é o plano passando pela origem e ortogonal a V0. Sua equação geral é
2x - y + z = 0
Uma base ortonormal de W é
e1 = l(tfrac1raiz5,,tfrac2raiz5,,0r), e2 = l(tfrac2raiz30,,-tfrac1raiz30,,-tfrac5raiz30r)

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