Considere a matriz A=(rrr2 & 1 & 1 2 & 2 & 4 -1 & -1 & -2).
Determine uma matriz P tal que D=P^-1 A P.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = 2 & 1 & 1 2 & 2 & 4 -1 & -1 & -2 ,
ou seja, encontrar uma matriz P invertível e uma diagonal D tais que
D = P^-1 A P
O conteúdo necessário é o de autovalores e autovetores de matrizes.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = 2-lambda & 1 & 1 2 & 2-lambda & 4 -1 & -1 & -2-lambda = -lambdal(lambda^2 - 2lambda -1r) = 0
Logo os autovalores são
lambda1 = 0, lambda2 = 1+raiz2, lambda3 = 1-raiz2

Passo 3

Para lambda1=0, resolvemos A,v=0. Das equações
2x+y+z=0, 2x+2y+4z=0, - x -y -2z=0
obtém-se z=x e y=-3x. Um autovetor associado é
v1 = 1-31

Passo 4

Para lambda2=1+raiz2, escrevemos (A-lambda2 I)v=0. Desta forma obtemos, tomando x=1,
v2 = 1 2(raiz2-1) 1-raiz2
Para lambda3=1-raiz2, de modo análogo e fixando x=1, obtemos
v3 = 1 -2(raiz2+1) 1+raiz2

Passo 5

Colocando esses vetores como colunas de P, temos
P = 1 & 1 & 1 -3 & 2(raiz2-1) & -2(raiz2+1) 1 & 1-raiz2 & 1+raiz2 ,
e a matriz diagonal correspondente é
D = 0 & 0 & 0 0 & 1+raiz2 & 0 0 & 0 & 1-raiz2
Por construção, verifica-se que D = P^-1AP.

Resposta

P= 1 & 1 & 1 -3 & 2(raiz2-1) & -2(raiz2+1) 1 & 1-raiz2 & 1+raiz2 , D= 0 & 0 & 0 0 & 1+raiz2 & 0 0 & 0 & 1-raiz2

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