Nos problemas 14 a 21 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:
a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justificar.
T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x-3 y, x-z, z-x)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(x-3y,;x-z,;z-x),
e pede:
a) núcleo ker(T), base, dimensão e injetividade;
b) imagem Im(T), base, dimensão e sobrejetividade.
Para isso vamos montar a matriz de T na base canônica, resolver o sistema homogêneo para o núcleo e analisar as colunas para a imagem.

Passo 2

Na base canônica temos

Passo 3

Para achar
da segunda e da terceira vem . Logo

Passo 4

Portanto
ker(T)=y,(3,1,3)mid yinR,
uma reta de dimensão
dimker(T)=1. Como dimker(T)>0, T não é injetora.

Passo 5

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A, que são
;(1,1,-1),;(-3,0,0),;(0,-1,1).
Verifica-se que as duas primeiras colunas já são linearmente independentes, então
Im(T) =span(1,1,-1),,(-3,0,0),
e dimIm(T)=2.

Passo 6

Como dimIm(T)=2<3=dimR^3, T não é sobrejetora.

Resposta

a) ker(T)=y,(3,1,3)mid yinR, base (3,1,3), dimker(T)=1. T não é injetora.
b) Im(T)=span(1,1,-1),(-3,0,0), dimIm(T)=2. T não é sobrejetora.

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