Nos problemas 14 a 21 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas:
a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justificar.
a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justificar.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede:
a) núcleo , base, dimensão e injetividade;
b) imagem , base, dimensão e sobrejetividade.
Para isso vamos montar a matriz de na base canônica, resolver o sistema homogêneo para o núcleo e analisar as colunas para a imagem.
a) núcleo
b) imagem
Para isso vamos montar a matriz de
Passo 2
Na base canônica
temos
Passo 3
Para achar
da segunda e da terceira vem . Logo
Passo 4
Portanto
uma reta de dimensão
. Como
,
não é injetora.
Passo 5
A imagem de
é o espaço gerado pelas colunas de
, que são
.
Verifica-se que as duas primeiras colunas já são linearmente independentes, então
Verifica-se que as duas primeiras colunas já são linearmente independentes, então
e
.
Passo 6
Como
,
não é sobrejetora.
Resposta
a)
, base
,
.
não é injetora.
b) ,
.
não é sobrejetora.
b)