Determine a matriz A^50, sendo
[rr 1 & 2 0 & -1 ]

Passo 1

O enunciado pede A^50 para a matriz
A = 1 & 2 0 & -1
Esse é um exercício de potências de matriz triangular. Vamos usar que, para matrizes triangulares, os elementos da diagonal são elevados à potência e os elementos acima da diagonal podem ser obtidos por soma de uma PG.

Passo 2

Como A é triangular superior, a forma geral de A^n é também triangular superior com
(A^n)11 = 1^n = 1, (A^n)22 = (-1)^n, (A^n)21 = 0
Falta achar (A^n)12.

Passo 3

Usamos a fórmula do produto de matrizes para potências triangulares:
(A^n)12 = sumk=0^n-1 (A)11^,n-1-k,(A)12,(A)22^,k = 2sumk=0^n-1(-1)^k

Passo 4

A soma sumk=0^n-1(-1)^k é uma PG de razão -1, cujo somatório vale
sumk=0^n-1(-1)^k = 1-(-1)^n1-(-1) = 1-(-1)^n2
Multiplicando por 2, obtemos
(A^n)12 = 2cdot1-(-1)^n2 = 1 - (-1)^n
Portanto
A^n = 1 & 1-(-1)^n 0 & (-1)^n

Passo 5

Agora substituímos n=50. Como (-1)^50=1, temos
1-(-1)^50=1-1=0 e (-1)^50=1
Logo
A^50 = 1 & 0 0 & 1

Resposta

A^50 = 1 & 0 0 & 1

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