sendo alpha=(1,1,1),(0,1,0),(0,0,1) uma base de R^3. Verifique que T é diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear T é diagonalizável. A gente está trabalhando com matrizes e bases, então vamos precisar lembrar um pouquinho sobre diagonalização e autovalores. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a matriz que representa o operador T na base alpha :
[T]alpha^alpha = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Essa matriz não é diagonal porque tem números diferentes de zero fora da diagonal principal. Nosso objetivo é ver se existe uma base onde T seja representado por uma matriz diagonal.
Passo 3
Para isso, precisamos encontrar os autovalores de T . Os autovalores são os valores de lambda que satisfazem a equação det([T] - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade.
Então, a equação característica é (1 - lambda)^3 = 0 , o que nos dá um único autovalor: lambda = 1 com multiplicidade algébrica 3.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores associados a lambda = 1 . Para isso, resolvemos ([T] - I)v = 0 :
0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
Isso nos dá a equação v2 + v3 = 0 , ou seja, v2 = -v3 . Assim, os autovetores têm a forma v = v1 -v3 v3 = v1 1 0 0 + v3 0 -1 1 .
Isso mostra que o espaço de autovetores tem dimensão 2 (você pode escolher v1 e v3 livremente), ou seja, a multiplicidade geométrica de lambda = 1 é 2.
Passo 5
Para que T seja diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor precisa ser igual à sua multiplicidade algébrica. Aqui, temos apenas lambda = 1 com multiplicidade algébrica 3, mas a multiplicidade geométrica é 2, que é menor que 3.
Resposta
Como a multiplicidade geométrica de 1 é menor que sua multiplicidade algébrica, o operador T não é diagonalizável.