Considere a matriz A=[rrr1 & -2 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1].
Determine matrizes P e D tais que A=P D P^-1.

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização de
A= 1 & -2 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
isto é, encontrar P invertível e diagonal D tais que
A = P,D,P^-1
O conteúdo aqui é cálculo de autovalores (espectral de matriz triangular) e autovetores para montar P.

Passo 2

Como A é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal. Vamos ver pelo polinômio característico:
det(A - lambda I) = (1-lambda),(-1-lambda),(-1-lambda) =0
Logo os autovalores são
lambda1=1 (multiplicidade 1) e lambda2=lambda3=-1 (multiplicidade 2).

Passo 3

Para resolvemos
As equações dão e , logo , , com livre. Tomamos o autovetor

Passo 4

Para resolvemos
que dá a única equação . Temos dois graus de liberdade. Escolhemos, por exemplo,
pois ambas satisfazem e são linearmente independentes.

Passo 5

Colocando os autovetores em colunas de P e os autovalores em D, temos
P = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 , D = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
Verifica-se que det P = 1cdot1cdot2neq0, logo P é invertível e
A = P,D,P^-1

Resposta

P = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 , D = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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