Considere a matriz
.
Determine matrizes
P e
D tais que
A=P D P^-1 .
Determine matrizes
Passo 1
O enunciado pede a diagonalização de
isto é, encontrar
P invertível e diagonal
D tais que
O conteúdo aqui é cálculo de autovalores (espectral de matriz triangular) e autovetores para montar
P .
Passo 2
Como
A é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal. Vamos ver pelo polinômio característico:
Logo os autovalores são
lambda1=1 (multiplicidade 1) e
lambda2=lambda3=-1 (multiplicidade 2).
Passo 3
Para
resolvemos
As equações dão
e
, logo
,
, com
livre. Tomamos o autovetor
Passo 4
Para
resolvemos
que dá a única equação
. Temos dois graus de liberdade. Escolhemos, por exemplo,
pois ambas satisfazem
e são linearmente independentes.
Passo 5
Colocando os autovetores em colunas de
P e os autovalores em
D , temos
Verifica-se que
det P = 1cdot1cdot2neq0 , logo
P é invertível e