Sejam A B=(1,-1,1), A C=(-1,3,2) e A D=(2,1,0).
a. a área do triângulo A B C e sua altura relativa ao vértice A;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos os vetores
AB=(1,-1,1) e AC=(-1,3,2), e queremos
  • a área do triângulo ABC,
  • e a altura relativa ao vértice A (isto é, a distância de A à reta BC).
    Conteúdo necessário: produto vetorial para achar área de triângulo em R^3 e relação área=tfrac12cdotbasecdota<uraá.

Passo 2

Calcular o produto vetorial ABtimesAC e sua norma:
ABtimesAC = i&j&k 1 & -1 & 1 -1 & 3 & 2 =(-5,,-3,,2)
Logo,
|ABtimesAC| =raiz(-5)^2+(-3)^2+2^2 =raiz25+9+4 =raiz38
A área do triângulo ABC é metade da área do paralelogramo dado pelo produto vetorial, isto é,
ÁreaABC =tfrac12,|ABtimesAC| =tfrac12,raiz38 Á

Passo 3

Calcular o vetor e o comprimento de BC:
BC=AC-AB =(-1,3,2)-(1,-1,1)=(-2,4,1),
|BC|=raiz(-2)^2+4^2+1^2 =raiz4+16+1 =raiz21

Passo 4

Usar a relação da área do triângulo em função da base BC e da altura hA desde A:
ÁreaABC =tfrac12cdot|BC|cdot hA Á
Isolando hA,
hA =2,ÁreaABC|BC| =2cdotl(tfrac12raiz38r)raiz21 =raiz38raiz21 =raiz3821 Á

Resposta

A área do triângulo ABC é tfrac12raiz38 e a altura relativa ao vértice A é raiztfrac3821.

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