Use diagonalização para colocar a cônica num novo sistema (x^prime, y^prime), sem o termo misto x y. Identifique a cônica e determine o ângulo de rotação entre os sistemas (x, y) e (x^prime, y^prime).
4 x^2+4 x y+y^2-x=0.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
4x^2+4xy+y^2-x=0
e pede para trocar de sistema de coordenadas (x,y) para um sistema rotacionado (x',y') em que o termo misto xy desapareça. Vamos usar a diagonalização da forma quadrática associada aos coeficientes de x^2,xy,y^2, identificar a cônica e calcular o ângulo de rotação.

Passo 2

Extraímos a parte quadrática e montamos a matriz simétrica
M = 4 & 2 2 & 1 ,
pois o coeficiente de xy é B=4, que aparece como 2 nos elementos fora da diagonal de M.

Passo 3

Calculamos os autovalores de resolvendo
logo
e .
Para resolvemos
de onde um autovetor é . Alinhando o eixo com , o ângulo entre o eixo original e o eixo satisfaz

Passo 4

Escolhendo
costheta = tfrac2raiz5,
sintheta = tfrac1raiz5,
a forma quadrática em (x',y') diagonaliza para
5,x'^2+0cdot y'^2,
e o termo linear -x vira
-x = -l(tfrac2raiz5x' - tfrac1raiz5y'r) = -tfrac2raiz5x' + tfrac1raiz5y'
Logo, no sistema rotacionado a equação fica
5x'^2;-;tfrac2raiz5,x';+;tfrac1raiz5,y';=;0,
sem termo misto. Como só há um quadrado não nulo ( 5x'^2), a cônica é uma parábola.

Resposta

A cônica é uma parábola e o ângulo de rotação é
theta = arctan!l(tfrac12r)

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