Use diagonalização para colocar a cônica num novo sistema , sem o termo misto . Identifique a cônica e determine o ângulo de rotação entre os sistemas e . .
Passo 1
O enunciado dá a cônica
e pede para trocar de sistema de coordenadas para um sistema rotacionado em que o termo misto desapareça. Vamos usar a diagonalização da forma quadrática associada aos coeficientes de , identificar a cônica e calcular o ângulo de rotação.
Passo 2
Extraímos a parte quadrática e montamos a matriz simétrica
pois o coeficiente de xy é B=4, que aparece como 2 nos elementos fora da diagonal de M.
Passo 3
Calculamos os autovalores de resolvendo
logo e .
Para resolvemos
de onde um autovetor é . Alinhando o eixo com , o ângulo entre o eixo original e o eixo satisfaz
Passo 4
Escolhendo costheta = tfrac2raiz5, sintheta = tfrac1raiz5,
a forma quadrática em (x',y') diagonaliza para