Verdadeiro ou falso? Se verdadeiro, demonstre, se falso, dê um contra-exemplo:
( ) Se a times b=a times c então b=c.

Passo 1

O enunciado pergunta se a igualdade
vec a times vec b = vec a times vec c
implica necessariamente vec b = vec c. O conteúdo aqui é a propriedade de nulidade do produto vetorial.

Passo 2

Subtraindo os dois produtos vetoriais obtemos
vec a times vec b - vec a times vec c = vec a times (vec b - vec c) = vec 0.
Sabe-se que vec a times vec x = vec 0 se e só se vec a e vec x são paralelos (ou um deles é o vetor nulo). Logo existe lambdain R tal que
vec b - vec c = lambda,vec a

Passo 3

Se lambdaneq0, então vec bneqvec c mas ainda assim vec atimesvec b = vec atimesvec c. Um contra-exemplo concreto é escolher
vec a = (1,0,0),
vec c = (0,1,0),
lambda = 2,
vec b = vec c + 2,vec a = (2,1,0).
Calculando, temos
vec a times vec b = (1,0,0)times(2,1,0) = (0,0,1)
vec a times vec c = (1,0,0)times(0,1,0) = (0,0,1)
mas claramente vec bneqvec c.

Passo 4

Portanto a afirmação inicial é falsa, pois encontramos um contra-exemplo em que vec atimesvec b = vec atimesvec c mas vec bneqvec c.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados