Considere a matriz A=[rrr1 & -2 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1].
Calcule A^99.

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^99 onde
A = 1 & -2 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
Como A é triangular superior, sabemos que nas potências de A as entradas diagonais ficam em (i,i) o valor lambdai^n, com lambda1=1, lambda2=-1, lambda3=-1, e só precisamos estudar as entradas acima da diagonal.

Passo 2

Suponha que
A^n = 1 & an & bn 0 & (-1)^n & 0 0 & 0 & (-1)^n
Então
A^n+1 = A^n,A = 1 & an & bn 0 & p & 0 0 & 0 & p 1 & -2 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ,
onde p = (-1)^n. Multiplicando, obtemos as recorrências
an+1=-2 - an, bn+1=1 - bn

Passo 3

Para
com , o que dá ciclo de período 2:
í
Para , e achamos solução particular . Ajustando com resulta

Passo 4

Para n=99 ímpar vale
(-1)^99=-1, a99=(-1)^99-1=-2, b99=1
Além disso as entradas diagonais são 1^99=1 e (-1)^99=-1. Logo

Resposta

A^99 = 1 & -2 & 1 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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