Considere a matriz
determine os seguintes:
(a)
A23 .
(b)
det(A31) .
(c)
De<a A22 .
(d)
cof(A) .
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma matriz
A dada por
O enunciado nos pede para determinar quatro coisas diferentes relacionadas a essa matriz:
a) Encontrar
A23 .
b) Calcular o determinante de
A31 .
c) Determinar
De<a A22 .
d) Encontrar o cofator de
A .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como matrizes menores, determinantes e cofatores. Vamos passo a passo!
Passo 2
a) Encontrar
A23
O que é
A23 ?
Aij representa o elemento da matriz na linha
i e coluna
j . Então,
A23 é o elemento na linha 2 e coluna 3.
Como encontrar?
Vamos olhar a matriz A :
Vamos olhar a matriz
Na linha 2, coluna 3, temos o número 1.
Passo 3
b) Calcular o determinante de
A31
O que é
A31 ?
A31 é a matriz menor obtida removendo a linha 3 e a coluna 1 de
A .
Como fazer isso?
Removendo a linha 3 e coluna 1:
Removendo a linha 3 e coluna 1:
Como calcular o determinante de uma matriz 2x2?
Para uma matriz a & b c & d , o determinante é
ad - bc .
Para uma matriz
Aplicando isso:
Passo 4
c) Determinar
De<a A22
O que é
De<a A22 ?
De<a A22 representa o determinante da matriz menor de
A após remover a linha 2 e coluna 2.
Como fazer isso?
Removendo a linha 2 e coluna 2:
Removendo a linha 2 e coluna 2:
Calculando o determinante:
Passo 5
d) Encontrar o cofator de
A
O que é o cofator de
A ?
O cofator de um elemento aij é dado por:
O cofator de um elemento
onde
det(Aij) é o determinante da matriz menor correspondente.
Como fazer isso para toda a matriz?
Vamos calcular o cofator para cada elemento de A :
Vamos calcular o cofator para cada elemento de
- Cofator
:cof(A11) - Remover linha 1 e coluna 1:
- Determinante:
(-2)(-3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5 - Cofator:
(-1)^1+1 cdot 5 = 1 cdot 5 = 5
- Cofator
:cof(A12) - Remover linha 1 e coluna 2:
- Determinante:
(1)(-3) - (1)(4) = -3 - 4 = -7 - Cofator:
(-1)^1+2 cdot (-7) = -1 cdot (-7) = 7
- Cofator
:cof(A13) - Remover linha 1 e coluna 3:
- Determinante:
(1)(1) - (-2)(4) = 1 + 8 = 9 - Cofator:
(-1)^1+3 cdot 9 = 1 cdot 9 = 9
- Cofator
:cof(A21) - Remover linha 2 e coluna 1:
- Determinante:
(-1)(-3) - (3)(1) = 3 - 3 = 0 - Cofator:
(-1)^2+1 cdot 0 = -1 cdot 0 = 0
-
Cofator
:cof(A22) - Já calculamos anteriormente
De<a A22 = -18 - Cofator:
(-1)^2+2 cdot (-18) = 1 cdot (-18) = -18
- Já calculamos anteriormente
-
Cofator
:cof(A23) - Remover linha 2 e coluna 3:
- Determinante:
(2)(1) - (-1)(4) = 2 + 4 = 6 - Cofator:
(-1)^2+3 cdot 6 = -1 cdot 6 = -6
- Cofator
:cof(A31) - Remover linha 3 e coluna 1:
- Determinante:
(-1)(1) - (3)(-2) = -1 + 6 = 5 - Cofator:
(-1)^3+1 cdot 5 = 1 cdot 5 = 5
- Cofator
:cof(A32) - Remover linha 3 e coluna 2:
- Determinante:
(2)(1) - (3)(1) = 2 - 3 = -1 - Cofator:
(-1)^3+2 cdot (-1) = -1 cdot (-1) = 1
- Cofator
:cof(A33) - Remover linha 3 e coluna 3:
- Determinante:
(2)(-2) - (-1)(1) = -4 + 1 = -3 - Cofator:
(-1)^3+3 cdot (-3) = 1 cdot (-3) = -3
Portanto, a matriz de cofatores de
A é:
Resposta
a)
A23 = 1
b) det(A31) = 5
c) De<a A22 = -18
d)
b)
c)
d)