Considere a matriz
A=[ccc 2 & -1 & 3 1 & -2 & 1 4 & 1 & -3 ]
determine os seguintes:
(a) A23.
(b) det(A31).
(c) De<a A22.
(d) cof(A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz A dada por
A = 2 & -1 & 3 1 & -2 & 1 4 & 1 & -3
O enunciado nos pede para determinar quatro coisas diferentes relacionadas a essa matriz:
a) Encontrar A23 .
b) Calcular o determinante de A31 .
c) Determinar De<a A22 .
d) Encontrar o cofator de A .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como matrizes menores, determinantes e cofatores. Vamos passo a passo!

Passo 2

a) Encontrar A23

O que é A23 ?
Aij representa o elemento da matriz na linha i e coluna j . Então, A23 é o elemento na linha 2 e coluna 3.
Como encontrar?
Vamos olhar a matriz A :
A = 2 & -1 & 3 1 & -2 & 1 4 & 1 & -3
Na linha 2, coluna 3, temos o número 1.

Passo 3

b) Calcular o determinante de A31

O que é A31 ?
A31 é a matriz menor obtida removendo a linha 3 e a coluna 1 de A .
Como fazer isso?
Removendo a linha 3 e coluna 1:
A31 = -1 & 3 -2 & 1
Como calcular o determinante de uma matriz 2x2?
Para uma matriz a & b c & d , o determinante é ad - bc .
Aplicando isso:
det(A31) = (-1)(1) - (3)(-2) = -1 + 6 = 5

Passo 4

c) Determinar De<a A22

O que é De<a A22 ?
De<a A22 representa o determinante da matriz menor de A após remover a linha 2 e coluna 2.
Como fazer isso?
Removendo a linha 2 e coluna 2:
A22 = 2 & 3 4 & -3
Calculando o determinante:
De<a A22 = (2)(-3) - (3)(4) = -6 - 12 = -18

Passo 5

d) Encontrar o cofator de A

O que é o cofator de A ?
O cofator de um elemento aij é dado por:
cof(aij) = (-1)^i+j cdot det(Aij)
onde det(Aij) é o determinante da matriz menor correspondente.
Como fazer isso para toda a matriz?
Vamos calcular o cofator para cada elemento de A :
  1. Cofator cof(A11) :
    • Remover linha 1 e coluna 1:
A11 = -2 & 1 1 & -3
  • Determinante: (-2)(-3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5
  • Cofator: (-1)^1+1 cdot 5 = 1 cdot 5 = 5
  1. Cofator cof(A12) :
    • Remover linha 1 e coluna 2:
A12 = 1 & 1 4 & -3
  • Determinante: (1)(-3) - (1)(4) = -3 - 4 = -7
  • Cofator: (-1)^1+2 cdot (-7) = -1 cdot (-7) = 7
  1. Cofator cof(A13) :
    • Remover linha 1 e coluna 3:
A13 = 1 & -2 4 & 1
  • Determinante: (1)(1) - (-2)(4) = 1 + 8 = 9
  • Cofator: (-1)^1+3 cdot 9 = 1 cdot 9 = 9
  1. Cofator cof(A21) :
    • Remover linha 2 e coluna 1:
A21 = -1 & 3 1 & -3
  • Determinante: (-1)(-3) - (3)(1) = 3 - 3 = 0
  • Cofator: (-1)^2+1 cdot 0 = -1 cdot 0 = 0
  1. Cofator cof(A22) :
    • Já calculamos anteriormente De<a A22 = -18
    • Cofator: (-1)^2+2 cdot (-18) = 1 cdot (-18) = -18
  2. Cofator cof(A23) :
    • Remover linha 2 e coluna 3:
A23 = 2 & -1 4 & 1
  • Determinante: (2)(1) - (-1)(4) = 2 + 4 = 6
  • Cofator: (-1)^2+3 cdot 6 = -1 cdot 6 = -6
  1. Cofator cof(A31) :
    • Remover linha 3 e coluna 1:
A31 = -1 & 3 -2 & 1
  • Determinante: (-1)(1) - (3)(-2) = -1 + 6 = 5
  • Cofator: (-1)^3+1 cdot 5 = 1 cdot 5 = 5
  1. Cofator cof(A32) :
    • Remover linha 3 e coluna 2:
A32 = 2 & 3 1 & 1
  • Determinante: (2)(1) - (3)(1) = 2 - 3 = -1
  • Cofator: (-1)^3+2 cdot (-1) = -1 cdot (-1) = 1
  1. Cofator cof(A33) :
    • Remover linha 3 e coluna 3:
A33 = 2 & -1 1 & -2
  • Determinante: (2)(-2) - (-1)(1) = -4 + 1 = -3
  • Cofator: (-1)^3+3 cdot (-3) = 1 cdot (-3) = -3
Portanto, a matriz de cofatores de A é:
cof(A) = 5 & 7 & 9 0 & -18 & -6 5 & 1 & -3

Resposta

a) A23 = 1
b) det(A31) = 5
c) De<a A22 = -18
d)
cof(A) = 5 & 7 & 9 0 & -18 & -6 5 & 1 & -3

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