Seja Psi: P2(R) R uam transformação linear definida por
Psi(p(x))=integral-1^1 p(x) d x ; p(x) in P2(R)
Determine a matriz de psi em relação as bases alpha=1,1+x, 1+x+x^2 e beta=-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A questão nos pede para encontrar a matriz da transformação linear Psi definida por
Psi(p(x)) = integral-1^1 p(x) , dx
no espaço dos polinômios de grau até 2, P2(R) , em relação às bases alpha = 1, 1+x, 1+x+x^2 e beta = -2 . Para isso, vamos precisar entender como transformar cada elemento da base alpha usando Psi e expressar o resultado na base beta .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz cujas colunas são as imagens dos vetores da base do domínio expressas na base do contradomínio. No nosso caso, Psi transforma elementos de P2(R) em R .

Passo 3

Vamos aplicar Psi a cada vetor da base alpha :
  • Psi(1) = integral-1^1 1 , dx
  • Psi(1+x) = integral-1^1 (1+x) , dx
  • Psi(1+x+x^2) = integral-1^1 (1+x+x^2) , dx

Passo 4

Calculando cada integral:
  1. Psi(1) = integral-1^1 1 , dx = [x]-1^1 = 1 - (-1) = 2
  2. Psi(1+x) = integral-1^1 1 , dx + integral-1^1 x , dx = 2 + 0 = 2 (pois a integral de x de -1 a 1 é zero)
  3. Psi(1+x+x^2) = integral-1^1 1 , dx + integral-1^1 x , dx + integral-1^1 x^2 , dx = 2 + 0 + [x^33]-1^1 = 2 + 0 + (13 - (-1)^33) = 2 + 23 = 83

Passo 5

Agora, precisamos expressar esses resultados na base beta = -2 . Isso significa que vamos encontrar um escalar c tal que:
Psi(vi) = c cdot (-2)
Para cada vi da base alpha .
Resolvendo para c :
c = Psi(vi)-2
Aplicando isso aos nossos resultados:
  1. Para Psi(1) = 2 :
c = 2-2 = -1
  1. Para Psi(1+x) = 2 :
c = 2-2 = -1
  1. Para Psi(1+x+x^2) = 83 :
c = 83-2 = -43

Resposta

A matriz de Psi em relação às bases alpha = 1, 1+x, 1+x+x^2 e beta = -2 é dada por:
[Psi]alpha^beta = -1 & -1 & -dfrac43

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