Seja
uam transformação linear definida por
Determine a matriz de
em relação as bases
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A questão nos pede para encontrar a matriz da transformação linear
definida por
no espaço dos polinômios de grau até 2,
, em relação às bases
e
. Para isso, vamos precisar entender como transformar cada elemento da base
usando
e expressar o resultado na base
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz cujas colunas são as imagens dos vetores da base do domínio expressas na base do contradomínio. No nosso caso,
transforma elementos de
em
.
Passo 3
Vamos aplicar
a cada vetor da base
:
Passo 4
Calculando cada integral:
-
-
(pois a integral de de a é zero) -
Passo 5
Agora, precisamos expressar esses resultados na base
. Isso significa que vamos encontrar um escalar
tal que:
Para cada
da base
.
Resolvendo para
:
Aplicando isso aos nossos resultados:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A matriz de
em relação às bases
e
é dada por: