(2 pontos) Considere os subespaços vetoriais de V=R^4, W1=>=r[l2 2 0 2],[l0 1 1 1],[c3 0 -3 0] e W2=>=r[c1 -2 -5 0],[l0 6 9 1]. Determine se W1=W2 ou não:

Passo 1

O enunciado pede para comparar os subespaços
W1=spanl2202,0111,30-30r
e
W2=spanl1-2-50,0691r
em R^4, ou seja, verificar se W1=W2. Vamos precisar determinar dimensões e testar inclusão de vetores de uma base na outra.

Passo 2

Mostramos que o terceiro gerador de W1 é combinação linear dos dois primeiros. Seja
alpha2202 +beta0111 =30-30
Pelas coordenadas:
2alpha=3impliesalpha=tfrac32, 2alpha+beta=0impliesbeta=-3, beta=-3implies -3=-3, 2alpha+beta=0implies3-3=0
Como tudo é consistente, concluímos que
30-30inspan,(2,2,0,2),(0,1,1,1),
logo dim W1=2 e uma base de W1 é v1,v2 com
v1=2202, v2=0111

Passo 3

Em W2 temos dois geradores
,u1=(1,-2,-5,0) e u2=(0,6,9,1).
Eles não são múltiplos um do outro (por exemplo a quarta coordenada de u2 é 1 e de u1 é 0), então dim W2=2 e u1,u2 é base de W2.

Passo 4

Para ter W1=W2 seria preciso u1in W1. Tentamos escrever
a2202 +b0111 =1-2-50
Da primeira coordenada 2a=1implies a=tfrac12.
Da segunda 2a+b=-2implies1+b=-2implies b=-3.
Da terceira b=-5, mas isso contradiz b=-3.
Logo não há solução e u1notin W1.

Passo 5

Como u1notin W1, temos W2notsubseteq W1. Logo não é possível ter W1=W2.

Resposta

W1neq W2.

Exercícios relacionados