(7 pts.) Considere a matriz
A=(ll 2 & -3 2 & -5 )
Determine todos os autovalores e autovetores associados com o operador lineare A: R^2 R^2.
rl x, y, z, u & a(x, y, z, u) x, 2 z, z, x & a x+a y+a z+a u=0,0,0 a x+a 2 z+a z+a x=0 ]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 2 & -3 2 & -5
e pede todos os autovalores lambda e os autovetores não nulos vinR^2 tais que
A v = lambda v
Para isso precisamos montar o polinômio característico det(A - lambda I)=0 e depois resolver (A - lambda I)v=0 para cada valor de lambda.

Passo 2

Calculemos o determinante de A - lambda I:
A - lambda I = 2-lambda & -3 2 & -5-lambda
det(A - lambda I) = (2-lambda)(-5-lambda) - (-3)cdot 2 = (2-lambda)(-5-lambda) + 6
Expandindo,
(2-lambda)(-5-lambda) = lambda^2 + 3lambda - 10,
logo
det(A - lambda I) = lambda^2 + 3lambda - 10 + 6 = lambda^2 + 3lambda - 4
Impondo det(A - lambda I)=0, obtemos o polinômio
lambda^2 + 3lambda - 4 = 0

Passo 3

Resolvendo lambda^2 + 3lambda - 4 = 0 pelo discriminante De<a = 3^2 -4cdot1cdot(-4)=9+16=25,
lambda = -3 pm raiz252 = -3 pm 52
Logo os autovalores são
lambda1 = -3 + 52 = 1, lambda2 = -3 - 52 = -4

Passo 4

Para lambda1 = 1 resolvemos
(A - I)v = 2-1 & -3 2 & -5-1 x y = 1 & -3 2 & -6 x y = 0 0
Da primeira linha vem x - 3y = 0, ou seja x = 3y. Então os vetores na forma
v = x y = y 3 1, yneq 0,
são todos os autovetores associados a lambda1=1.

Passo 5

Para lambda2 = -4 resolvemos
(A +4I)v = 2+4 & -3 2 & -5+4 x y = 6 & -3 2 & -1 x y = 0 0
Da primeira linha vem 6x - 3y = 0, ou seja y = 2x. Logo
v = x y = x 1 2, xneq 0,
são todos os autovetores associados a lambda2=-4.

Resposta

Os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = -4
Um conjunto de autovetores para cada caso é
lambda1=1:; v = t3 1, lambda2=-4:; v = s1 2,
com tneq 0 e sneq 0.

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