.) Considere a matriz
Determine todos os autovalores e autovetores associados com o operador lineare
A: R^2 R^2 .
rl x, y, z, u & a(x, y, z, u) x, 2 z, z, x & a x+a y+a z+a u=0,0,0 a x+a 2 z+a z+a x=0 ]
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede todos os autovalores
lambda e os autovetores não nulos
vinR^2 tais que
Para isso precisamos montar o polinômio característico
det(A - lambda I)=0 e depois resolver
(A - lambda I)v=0 para cada valor de
lambda .
Passo 2
Calculemos o determinante de
A - lambda I :
Expandindo,
logo
Impondo
det(A - lambda I)=0 , obtemos o polinômio
Passo 3
Resolvendo
lambda^2 + 3lambda - 4 = 0 pelo discriminante
De<a = 3^2 -4cdot1cdot(-4)=9+16=25 ,
Logo os autovalores são
Passo 4
Para
lambda1 = 1 resolvemos
Da primeira linha vem
x - 3y = 0 , ou seja
x = 3y . Então os vetores na forma
são todos os autovetores associados a
lambda1=1 .
Passo 5
Para
lambda2 = -4 resolvemos
Da primeira linha vem
6x - 3y = 0 , ou seja
y = 2x . Logo
são todos os autovetores associados a
lambda2=-4 .
Resposta
Os autovalores são
Um conjunto de autovetores para cada caso é
com
tneq 0 e
sneq 0 .