Use operações elementares sobre as linhas da matriz para encontrar a inversa da matriz dada, se essa inversa existir.
(d) A=[lll1 & 2 & 0 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = 1 & 2 & 0 2 & 1 & 2 0 & 2 & 1
usando operações elementares sobre linhas (método de Gauss–Jordan). Vamos montar a matriz aumentada l[Amid Ir] e transformá-la em l[Imid A^-1r].

Passo 2

Montamos a aumentada e zeramos o elemento abaixo do pivô na coluna 1 usando
R2 R2-2R1
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ] ;xrightarrowR2-2R1; [ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -3 & 2 & -2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Agora pivotamos em ( 2,2):
1) Tornamos esse pivô igual a 1 com
R2 -tfrac13R2
2) Zeramos o elemento abaixo dele na coluna 2 com
R3 R3-2R2
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -3 & 2 & -2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ] ;xrightarrowR2/(-3); [ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac23 & tfrac23 & -tfrac13 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
xrightarrowR3-2R2; [ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac23 & tfrac23 & -tfrac13 & 0 0 & 0 & tfrac73 & -tfrac43 & tfrac23 & 1 ]

Passo 4

Pivotamos em ( 3,3): deixamos esse pivô igual a 1 com
R3 tfrac37R3
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac23 & tfrac23 & -tfrac13 & 0 0 & 0 & tfrac73 & -tfrac43 & tfrac23 & 1 ] ;xrightarrowR3cdot(3/7); [ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac23 & tfrac23 & -tfrac13 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac47 & tfrac27 & tfrac37 ]

Passo 5

Fazemos a retro-substituição para zerar os elementos acima dos pivôs:
1 Zerar em (2,3) com
R2 R2+tfrac23R3
2 Zerar em (1,2) com
R1 R1-2R2
[ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac23 & tfrac23 & -tfrac13 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac47 & tfrac27 & tfrac37 ] ;xrightarrowR2+tfrac23R3; [ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & tfrac23-tfrac821 & -tfrac13+tfrac421 & 0+tfrac27 0 & 0 & 1 & -tfrac47 & tfrac27 & tfrac37 ]
=; [ccc|ccc 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & tfrac27 & -tfrac17 & tfrac27 0 & 0 & 1 & -tfrac47 & tfrac27 & tfrac37 ] ;xrightarrowR1-2R2; [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 1-2!cdot!tfrac27 & 0-2!cdot!l(-tfrac17r) & 0-2!cdot!tfrac27 0 & 1 & 0 & tfrac27 & -tfrac17 & tfrac27 0 & 0 & 1 & -tfrac47 & tfrac27 & tfrac37 ]
=;[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac37 & tfrac27 & -tfrac47 0 & 1 & 0 & tfrac27 & -tfrac17 & tfrac27 0 & 0 & 1 & -tfrac47 & tfrac27 & tfrac37 ]

Resposta

A inversa é
A^-1 = tfrac37 & tfrac27 & -tfrac47[6pt] tfrac27 & -tfrac17 & tfrac27[6pt] -tfrac47 & tfrac27 & tfrac37 ]

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