Considere a matriz
.
Determine todos os valores de
a para os quais os sitema
A x=(l0 2 4) tem solução.
Determine todos os valores de
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e o vetor de termos independentes
e pede os valores de
para os quais o sistema
tem solução.
Para isso vamos usar o fato de que um sistema linear é consistente se, e somente se,
Para isso vamos usar o fato de que um sistema linear é consistente se, e somente se,
Passo 2
Calculemos o determinante de
em função de
. Expandindo pela primeira linha,
Cada menor é
Logo
Passo 3
Se
, então
, logo . Nesse caso
é invertível e o sistema tem solução única para qualquer vetor
. Portanto todos
são bons.
Passo 4
Falta checar
a=0 . Para
a=0 temos
Basta mostrar que
rank(A)=rank(Amid b) . Observa-se que, nas três linhas,
e o mesmo coeficiente vale para o termo independente (pois
-tfrac52cdot0+tfrac12cdot4=2 ). Assim as três linhas são dependentes e
portanto o sistema é consistente (infinitas soluções) quando
a=0 .
Resposta
O sistema
A x=b tem solução para todo valor real de
a .