Considere a matriz
A=(ccc1 & 2 & -3 -2 & a-8 & 10 1 & a-6 & 5).
Determine todos os valores de a para os quais os sitema A x=(l0 2 4) tem solução.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
e o vetor de termos independentes
e pede os valores de para os quais o sistema tem solução.
Para isso vamos usar o fato de que um sistema linear é consistente se, e somente se,

Passo 2

Calculemos o determinante de em função de . Expandindo pela primeira linha,
Cada menor é
Logo

Passo 3

Se , então , logo . Nesse caso é invertível e o sistema tem solução única para qualquer vetor . Portanto todos são bons.

Passo 4

Falta checar a=0. Para a=0 temos
A= 1 & 2 & -3 -2 & -8 & 10 1 & -6 & 5
Basta mostrar que rank(A)=rank(Amid b). Observa-se que, nas três linhas,
linha2=-tfrac52,linha1+tfrac12,linha3,
e o mesmo coeficiente vale para o termo independente (pois -tfrac52cdot0+tfrac12cdot4=2). Assim as três linhas são dependentes e
rank(A)=2, rank(Amid b)=2,
portanto o sistema é consistente (infinitas soluções) quando a=0.

Resposta

O sistema A x=b tem solução para todo valor real de a.

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