Considere um sistema linear que tem como matriz aumentada a matriz (ccccc1 & 0 & 5 & 3+k & 4 -2 & 2 & k-10 & -2 k-7 & -12 0 & 2 & 2 k-1 & k^2-2 & k^2-k-4 1 & 0 & 5 & k^2+k+2 & 6+k). Determine todos os valores de k para os quais:
O sistema tem infinitas soluções;

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas, cuja matriz aumentada depende do parâmetro k:
l[A mid br] = 1 & 0 & 5 & 3+k & 4 [6pt] -2 & 2 & k-10 & -2k-7 & -12 [6pt] 0 & 2 & 2k-1 & k^2-2 & k^2-k-4 [6pt] 1 & 0 & 5 & k^2+k+2 & 6+k
O conteúdo é teoria de posto (rank) de matrizes: para ter infinitas soluções é necessário e suficiente
rank(A)=rankl[A mid br]<4 ]

Passo 2

Primeiro vamos achar os valores de k para os quais det(A)=0, pois isso equivale a rank(A)<4. Observe que as três primeiras colunas de R4 coincidem com R1, então fazemos
R4' = R4 - R1 ;Longrightarrow; R4' = l(0,,0,,0,,k^2-1r)
Assim, ao expandir o determinante pela última linha,
det(A)=(k^2-1),det 1 & 0 & 5 -2 & 2 & k-10 0 & 2 & 2k-1
Calculando o !3times3:
det 1 & 0 & 5 -2 & 2 & k-10 0 & 2 & 2k-1 =1l(2(2k-1)-2(k-10)r)+5l((-2)cdot2-0r) =2k-2
Logo,
det(A)=(k^2-1)(2k-2)=2(k-1)^2(k+1)
Portanto det(A)=0 exatamente para k=1 ou k=-1.

Passo 3

Agora verificamos a consistência do sistema nesses valores. Reescrevemos a última linha da matriz aumentada como
R4 - R1: (0,0,0,;k^2-1mid,(6+k)-4) = (0,0,0,;k^2-1mid k+2)
Quando k^2-1neq0 a equação resultante determina x4 e há solução única. Quando k^2-1=0, ou seja em k=1 ou -1, essa linha torna-se
(0,0,0mid k+2);Longrightarrow;0=x4cdot0=k+2,
que só é possível se k+2=0.

Passo 4

Para k=1 obtemos k+2=3, logo a última equação vira 0=3, sistema inconsistente.

Passo 5

Para k=-1 obtemos k+2=1, logo a última equação vira 0=1, também inconsistente.

Resposta

Não existe nenhum valor de k que torne o sistema com infinitas soluções.

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