Considere um sistema linear que tem como matriz aumentada a matriz
. Determine todos os valores de
k para os quais:
O sistema tem infinitas soluções;
O sistema tem infinitas soluções;
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas, cuja matriz aumentada depende do parâmetro
k :
O conteúdo é teoria de posto (rank) de matrizes: para ter infinitas soluções é necessário e suficiente
Passo 2
Primeiro vamos achar os valores de
k para os quais
det(A)=0 , pois isso equivale a
rank(A)<4 . Observe que as três primeiras colunas de
R4 coincidem com
R1 , então fazemos
Assim, ao expandir o determinante pela última linha,
Calculando o
!3times3 :
Logo,
Portanto
det(A)=0 exatamente para
k=1 ou
k=-1 .
Passo 3
Agora verificamos a consistência do sistema nesses valores. Reescrevemos a última linha da matriz aumentada como
Quando
k^2-1neq0 a equação resultante determina
x4 e há solução única. Quando
k^2-1=0 , ou seja em
k=1 ou
-1 , essa linha torna-se
que só é possível se
k+2=0 .
Passo 4
Para
k=1 obtemos
k+2=3 , logo a última equação vira
0=3 , sistema inconsistente.
Passo 5
Para
k=-1 obtemos
k+2=1 , logo a última equação vira
0=1 , também inconsistente.
Resposta
Não existe nenhum valor de
k que torne o sistema com infinitas soluções.