Considere o subconjunto de R^5, V=(x, y, z, w, k) in R^5: 2 x+z-3 w+k=0, y-3 z+w=0.
Determine uma base e a dimensão de V

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V=(x,y,z,w,k)inR^5 mid 2x+z-3w+k=0,;y-3z+w=0
Estamos no contexto de subespaços definidos por equações lineares. Para encontrar uma base de V e sua dimensão, vamos resolver esse sistema, parametrizar as soluções e extrair vetores geradores.

Passo 2

Das duas equações, isolamos duas variáveis em função das outras três:
  1. Da segunda, y-3z+w=0 Longrightarrow y=3z-w
  2. Da primeira, 2x+z-3w+k=0 Longrightarrow 2x=-z+3w-k Longrightarrow x=-12z+32w-12k

Passo 3

Escolhemos parâmetros livres
s=z, t=w, u=k
Então
x=-tfrac12,s+tfrac32,t-tfrac12,u, y=3s-t, z=s, w=t, k=u
e o vetor genérico em V é
(x,y,z,w,k) =sl(-tfrac12,3,1,0,0r) +tl(tfrac32,-1,0,1,0r) +ul(-tfrac12,0,0,0,1r)
Logo, V é gerado pelos vetores
v1=l(-tfrac12,3,1,0,0r), v2=l(tfrac32,-1,0,1,0r), v3=l(-tfrac12,0,0,0,1r)

Passo 4

Os três vetores v1,v2,v3 são claramente linearmente independentes e geram V. Portanto são uma base de V e o número de vetores na base é
dim V = 3

Resposta

Uma base de V é
l(-tfrac12,3,1,0,0),;(tfrac32,-1,0,1,0),;(-tfrac12,0,0,0,1)r,
e dim V=3.

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