Considere a matriz
A=(lll-1 & 1 & 2 -2 & 7 & 0 -2 & 1 & 5). Verifique que A é invertível e determine sua inversa.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a matriz
A= -1 & 1 & 2 -2 & 7 & 0 -2 & 1 & 5
é invertível e, em seguida, encontrar A^-1.
Conteúdo necessário: critério de invertibilidade via determinante ( det(A)neq0) e cálculo da inversa usando a matriz de cofatores (adjunta).

Passo 2

Calculamos o determinante de A expandindo pela primeira linha:
det(A) =-1cdotdet7&01&5 -1cdotdet-2&0-2&5 +2cdotdet-2&7-2&1
Agora cada menor:
det7&01&5=7cdot5-0cdot1=35,
det-2&0-2&5=(-2)cdot5-0cdot(-2)=-10,
det-2&7-2&1=(-2)cdot1-7cdot(-2)=-2+14=12
Substituindo em det(A):
det(A)=-1cdot35 -1cdot(-10)+2cdot12 = -35+10+24 = -1
Como det(A)=-1neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 3

Vamos montar a matriz de cofatores C. Para cada entrada aij de A calculamos o menor associado e aplicamos o sinal (-1)^i+j:
C11=+,det7&01&5=+35, C12=-,det-2&0-2&5=+10, C13=+,det-2&7-2&1=+12,
C21=-,det1&21&5=-3, C22=+,det-1&2-2&5=-1, C23=-,det-1&1-2&1=-1,
C31=+,det1&27&0=-14, C32=-,det-1&2-2&0=-4, C33=+,det-1&1-2&7=-5
Isso dá a matriz de cofatores
C= 35 & 10 & 12 -3 & -1 & -1 -14 & -4 & -5
A adjunta de A é adj(A)=C^T.

Passo 4

Como det(A)=-1, a inversa é
A^-1=1det(A),adj(A) =-1cdot C^T
Transpondo C e multiplicando por -1 obtemos
A^-1= -, 35 & -3 & -14 10 & -1 & -4 12 & -1 & -5 = -35 & 3 & 14 -10 & 1 & 4 -12 & 1 & 5

Resposta

A^-1= -35 & 3 & 14 -10 & 1 & 4 -12 & 1 & 5

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