Considere um sistema linear que tem como matriz aumentada a matriz
. Determine todos os valores de
k para os quais:
O sistema tem uma única solução;
O sistema tem uma única solução;
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear com matriz aumentada
Para que o sistema tenha única solução, a matriz de coeficientes deve ser invertível, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero. Vamos calcular
e achar
det A(k) .]
Passo 2
Para simplificar, fazemos a operação de linha
o que transforma a quarta linha de
A(k) em
Assim a matriz fica
Passo 3
Como a nova quarta linha tem só um elemento não nulo na coluna
4 , podemos expandir o determinante por essa linha:
Logo
onde
Passo 4
Calculemos
det M(k) por expansão na primeira linha:
Temos
Logo
Passo 5
Substituindo em
det A(k) ,
Para o sistema ter única solução precisamos
det A(k)neq0 , ou seja,
Resposta
O sistema tem única solução para todos os valores de
k tais que