Considere um sistema linear que tem como matriz aumentada a matriz (ccccc1 & 0 & 5 & 3+k & 4 -2 & 2 & k-10 & -2 k-7 & -12 0 & 2 & 2 k-1 & k^2-2 & k^2-k-4 1 & 0 & 5 & k^2+k+2 & 6+k). Determine todos os valores de k para os quais:
O sistema tem uma única solução;

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com matriz aumentada
1 & 0 & 5 & 3+k & 4 [6pt] -2 & 2 & k-10 & -2k-7 & -12 [6pt] 0 & 2 & 2k-1 & k^2-2 & k^2-k-4 [6pt] 1 & 0 & 5 & k^2+k+2 & 6+k
Para que o sistema tenha única solução, a matriz de coeficientes deve ser invertível, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero. Vamos calcular
A(k)= 1 & 0 & 5 & 3+k [4pt] -2 & 2 & k-10 & -2k-7 [4pt] 0 & 2 & 2k-1 & k^2-2 [4pt] 1 & 0 & 5 & k^2+k+2
e achar det A(k).]

Passo 2

Para simplificar, fazemos a operação de linha
L4 L4 - L1,
o que transforma a quarta linha de A(k) em
(1,0,5,k^2+k+2); - ; (1,0,5,k+3) = (0,0,0,k^2-1)
Assim a matriz fica
1 & 0 & 5 & k+3 [4pt] -2 & 2 & k-10 & -2k-7 [4pt] 0 & 2 & 2k-1 & k^2-2 [4pt] 0 & 0 & 0 & k^2-1 ]

Passo 3

Como a nova quarta linha tem só um elemento não nulo na coluna 4, podemos expandir o determinante por essa linha:
det A(k) = underbrace(k^2-1)e<=mento (4,4) times (-1)^4+4 det 1 & 0 & 5 [4pt] -2 & 2 & k-10 [4pt] 0 & 2 & 2k-1
Logo
det A(k) = (k^2-1),det M(k),
onde
M(k) = 1 & 0 & 5 [4pt] -2 & 2 & k-10 [4pt] 0 & 2 & 2k-1 ]

Passo 4

Calculemos det M(k) por expansão na primeira linha:
det M(k) = 1 cdot det 2 & k-10 [4pt] 2 & 2k-1 - 0 cdot cdots + 5 cdot det -2 & 2 [4pt] 0 & 2
Temos
det 2 & k-10 2 & 2k-1 = 2(2k-1) - 2(k-10) = 4k - 2 - 2k + 20 = 2k + 18,
det -2 & 2 0 & 2 = -2 cdot 2 - 0 cdot 2 = -4
Logo
det M(k) = (2k + 18) + 5 cdot (-4) = 2k + 18 - 20 = 2k - 2 = 2(k - 1) ]

Passo 5

Substituindo em det A(k),
det A(k)=(k^2-1),2(k-1) =2(k-1)(k+1)(k-1) =2(k-1)^2(k+1)
Para o sistema ter única solução precisamos det A(k)neq0, ou seja,
2(k-1)^2(k+1)neq0 Long<=ftrightarrow k-1neq0 e k+1neq0

Resposta

O sistema tem única solução para todos os valores de k tais que
kneq1 e kneq-1

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